جمع و تفریق عددهای صحیح: از دمای زیر صفر تا بالانس حساب
اعداد صحیح چه هستند و کجا زندگی می‌کنند؟
اعداد صحیح مجموعه‌ای از اعداد طبیعی[2]، صفر و قرینه[3] اعداد طبیعی هستند. آن‌ها را می‌توانیم روی یک خط راست به نام محور اعداد نشان دهیم. نقطه‌ی وسط این محور، صفر است. سمت راست صفر، اعداد مثبت و سمت چپ آن، اعداد منفی قرار دارند.
| نماد عددی | مفهوم در زندگی واقعی |
|---|---|
| +5 | ۵ متر بالاتر از سطح دریا |
| 0 | سطح دریا |
| -10 | ۱۰ درجه زیر صفر |
| -100 | بدهی 100 تومانی |
جمع کردن اعداد صحیح با دو روش کاربردی
برای جمع کردن اعداد صحیح، دو روش اصلی داریم: استفاده از محور اعداد و استفاده از قانون علامت‌ها.
روش اول: حرکت روی محور اعداد
فرض کنید روی محور اعداد ایستاده‌اید. جمع یعنی حرکت به سمت راست و تفریق یعنی حرکت به سمت چپ.
مثال: حاصل $ (+3) + (+5) $ را پیدا کنید.
- از نقطه +3 شروع می‌کنیم.
- جمع با عدد مثبت (+5) یعنی ۵ قدم به سمت راست حرکت کنیم.
- به نقطه +8 می‌رسیم. پس جواب +8 است.
مثال از زندگی: در یخچال شما 3 عدد سیب وجود دارد. شما 5 سیب دیگر به آن اضافه می‌کنید. حالا 8 سیب دارید: $ 3 + 5 = 8 $.
روش دوم: قانون علامت‌ها برای جمع
این قانون به ما کمک می‌کند بدون کشیدن محور، جمع را انجام دهیم.
• اگر دو عدد هم‌علامت باشند: قدر مطلق[4]ها را جمع می‌کنیم و علامت مشترک را می‌گذاریم.
• اگر دو عدد مختلف‌العلامت باشند: قدر مطلق‌ها را از هم کم می‌کنیم (عدد بزرگتر منهای عدد کوچکتر) و علامت عددی که قدر مطلق بزرگتری دارد را می‌گذاریم.
| نوع اعداد | راه حل | مثال و نتیجه |
|---|---|---|
| هر دو مثبت | جمع عادی | $ (+4) + (+6) = +10 $ |
| هر دو منفی | جمع و علامت منفی | $ (-3) + (-5) = -8 $ |
| مثبت و منفی | تفریق و علامت عدد بزرگتر | $ (+9) + (-4) = +5 $ |
| مثبت و منفی (برعکس) | تفریق و علامت عدد بزرگتر | $ (-7) + (+2) = -5 $ |
تفریق اعداد صحیح؛ یک ترفند ساده و جادویی
برای تفریق اعداد صحیح، یک ترفند بسیار ساده وجود دارد که همه چیز را آسان می‌کند.
تفریق یک عدد، برابر است با جمع با قرینه آن عدد.
$ a - b = a + (-b) $
یعنی برای حل تفریق، کافی است علامت عدد دوم را عوض کرده و عمل جمع را انجام دهیم.
| مسئله تفریق | تبدیل به جمع | حل و نتیجه |
|---|---|---|
| $ (+8) - (+3) $ | $ (+8) + (-3) $ | $ = +5 $ |
| $ (-6) - (-2) $ | $ (-6) + (+2) $ | $ = -4 $ |
| $ (+4) - (-5) $ | $ (+4) + (+5) $ | $ = +9 $ |
محاسبات مالی؛ بازی با پول و بدهی
بیایید از اعداد صحیح برای مدیریت یک حساب بانکی ساده استفاده کنیم. فرض کنید موجودی حساب شما با اعداد صحیح نشان داده می‌شود. عدد مثبت یعنی پول دارید، عدد منفی یعنی بدهکار هستید.
سناریو: موجودی اولیه حساب شما 50,000 تومان است (+50 هزار تومان).
- شما یک کتاب به قیمت 30,000 تومان می‌خرید: این یک خروج پول است. $ (+50) + (-30) = +20 $ (هنوز 20,000 تومان دارید).
- یک دوست 25,000 تومان از شما قرض می‌گیرد: این هم یک خروج پول است. $ (+20) + (-25) = -5 $ (حالا 5,000 تومان بدهکارید).
- پدرتان 15,000 تومان به شما پول توجیبی می‌دهد: این یک ورود پول است. $ (-5) + (+15) = +10 $ (حالا 10,000 تومان دارید).
همانطور که می‌بینید، هر معامله یک جمع یا تفریق از موجودی حساب شماست!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: از قانون طلایی تفریق کمک می‌گیریم. فرض کنید $ 5 - (-2) $ را می‌خواهیم حل کنیم. این عبارت یعنی "از 5، منفی 2 را کم کن". طبق قانون، این می‌شود $ 5 + (+2) = 7 $. در زندگی واقعی، اگر 5 هزار تومان داشته باشید و 2 هزار تومان بدهی شما (یک عدد منفی) را ببخشند (یعنی آن بدهی را از شما کم کنند)، در واقع 7 هزار تومان خواهید داشت.
پاسخ: دو اشتباه بسیار رایج وجود دارد:
1. فراموش کردن قانون "تفریق = جمع با قرینه". بسیاری از دانش‌آموزان سعی می‌کنند مستقیم تفریق کنند که باعث سردرگمی می‌شود.
2. اشتباه در تعیین علامت نهایی وقتی دو عدد مختلف‌العلامت را جمع می‌کنند. همیشه به یاد داشته باشید که علامت عددی که قدر مطلق بزرگتری دارد، برنده است و برنده می‌شود!
پاسخ: هیچ‌کدام! صفر یک عدد خنثی است. نه مثبت است و نه منفی. آن را مرز بین سرزمین اعداد مثبت و سرزمین اعداد منفی در نظر بگیرید.
• اعداد صحیح شامل اعداد مثبت، صفر و اعداد منفی هستند.
• برای جمع: اگر علامت‌ها یکسان باشد، جمع می‌کنیم و علامت مشترک را می‌گذاریم. اگر علامت‌ها متفاوت باشد، تفریق می‌کنیم و علامت عدد بزرگتر را می‌گذاریم.
• برای تفریق: همیشه می‌توانیم آن را به "جمع با قرینه" تبدیل کنیم. ($ a - b = a + (-b) $)
• از محور اعداد برای درک بصری و از قانون علامت‌ها برای محاسبات سریع استفاده کنید.
این مفاهیم پایه‌ای هستند که در درس‌های ریاضی بالاتر و همچنین در موقعیت‌های زیادی در زندگی واقعی از آن‌ها استفاده خواهید کرد.
پاورقی
[1]اعداد صحیح (Integers): به مجموعه اعداد ... , -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... گفته می‌شود.
[2]اعداد طبیعی (Natural Numbers): به اعداد صحیح مثبت یعنی 1, 2, 3, ... گفته می‌شود.
[3]قرینه (Opposite): قرینه یک عدد، عددی است که وقتی با آن جمع شود، حاصل صفر می‌شود. مثلاً قرینه +5، عدد -5 است.
[4]قدر مطلق (Absolute Value): فاصله یک عدد از صفر روی محور اعداد را قدر مطلق آن می‌گویند که همیشه یک عدد نامنفی است. قدر مطلق هر دو عدد مثبت و منفی، مثبت است. مثلاً قدر مطلق +7 و -7 هر دو برابر 7 است.
