جمع و تفریق کسرها: ریاضیات شیرین
کسر چیست و اجزای آن کدامند؟
کسر روشی برای نشان‌دادن قسمت‌هایی از یک چیز کامل است. مثلاً وقتی یک پیتزا را به 8 قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم، هر تکه یک‌هشتم (1/8) پیتزا است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است:
| نام بخش | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| صورت1 | تعداد قسمت‌هایی که از کل انتخاب شده‌اند | در کسر 3/4، عدد 3 صورت است. |
| مخرج2 | تعداد کل قسمت‌های مساوی | در کسر 3/4، عدد 4 مخرج است. |
جمع کردن کسرها با مخرج یکسان
وقتی مخرج دو کسر با هم برابر باشد، جمع کردن بسیار آسان است. فقط کافی است صورت‌ها را با هم جمع کنیم و مخرج را تغییر ندهیم. فرض کنید یک کیک دارید که به 5 قسمت مساوی تقسیم شده است. شما 2/5 آن را می‌خورید و برادرتان 1/5 آن را. در کل چه مقدار از کیک خورده شده است؟
برای محاسبه: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$
جمع کردن کسرها با مخرج متفاوت
اگر مخرج کسرها متفاوت باشد، ابتدا باید آن‌ها را به کسرهایی با مخرج یکسان تبدیل کنیم. به این کار «پیدا کردن مخرج مشترک»3 می‌گویند. مثال: شما 1/2 یک شکلات و دوستتان 1/4 همان شکلات را می‌خورید. در کل چقدر شکلات خورده‌اید؟
مراحل حل:
۱. مخرج مشترک می‌گیریم: کوچکترین عددی که هم 2 و هم 4 در آن بخش‌پذیر باشند، عدد 4 است.
۲. کسرها را تبدیل می‌کنیم: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$
۳. جمع می‌کنیم: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
تفریق کسرها چگونه است؟
تفریق کسرها دقیقاً مانند جمع کردن است. اگر مخرج‌ها یکسان باشند، فقط صورت‌ها را از هم کم می‌کنیم. مثال: از 5/6 یک زمین بازی، 2/6 آن را دوچرخه‌سواری کرده‌اید. چه قسمتی باقی مانده است؟
محاسبه: $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، ابتدا مخرج مشترک می‌گیریم و سپس عمل تفریق را انجام می‌دهیم.
استفاده از شکل و محور برای درک بهتر
کشیدن شکل به درک جمع و تفریق کسرها کمک زیادی می‌کند. برای مثال، یک مستطیل را به 3 قسمت مساوی تقسیم کنید و 2/3 آن را رنگ بزنید. سپس از قسمت رنگی، 1/3 را پاک کنید. می‌بینید که 1/3 باقی می‌ماند.
محور اعداد نیز ابزار مفیدی است. یک محور از 0 تا 1 رسم کنید و آن را به فواصل مساوی (مثلاً هر 1/4) تقسیم کنید. نشان دادن پرش از 1/4 به 3/4 به درک جمع 1/4 + 2/4 = 3/4 کمک می‌کند.
کاربرد کسرها در زندگی روزمره
کسرها همه‌جا هستند! وقتی نانوا نان را به چند قسمت مساوی تقسیم می‌کند، وقتی خیاط پارچه را اندازه‌گیری می‌کند، یا وقتی شما زمان بازی خود را بین فوتبال و دوچرخه‌سواری تقسیم می‌کنید، در حال استفاده از کسرها هستید. اگر نصف (1/2) ساعت فوتبال بازی کنید و یک‌چهارم (1/4) ساعت دوچرخه‌سواری، در کل $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ساعت ورزش کرده‌اید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. این یک اشتباه رایج است. فقط وقتی مخرج‌ها یکسان باشند می‌توان صورت‌ها را جمع یا تفریق کرد. در غیر این صورت باید ابتدا مخرج مشترک گرفت.
پاسخ: همیشه بهتر است کسر را به ساده‌ترین شکل ممکن بنویسیم. مثلاً 2/4 را می‌توان به 1/2 ساده کرد. برای این کار، هم صورت و هم مخرج را بر بزرگ‌ترین عددی که هر دو بر آن بخش‌پذیر هستند تقسیم می‌کنیم.
پاسخ: عدد مخلوط عددی است که از یک قسمت صحیح و یک کسر تشکیل شده است، مانند 1\frac{1}{2}. برای جمع یا تفریق آن با کسرهای دیگر، بهتر است ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم. مثلاً $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
پاورقی
1 صورت: معادل انگلیسی Numerator - به قسمت بالایی کسر گفته می‌شود که نشان‌دهنده تعداد قسمت‌های انتخاب شده است.
2 مخرج: معادل انگلیسی Denominator - به قسمت پایینی کسر گفته می‌شود که نشان‌دهنده کل قسمت‌های مساوی است.
3 مخرج مشترک: معادل انگلیسی Common Denominator - عددی است که مخرج دو یا چند کسر مختلف بتوانند به آن تبدیل شوند.
4 عدد مخلوط: معادل انگلیسی Mixed Number - عددی که از ترکیب یک عدد صحیح و یک کسر ساده تشکیل شده است.