احتمال را با تکرار کشف کن!
احتمال چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
احتمال۲ به ما می‌گوید که چقدر احتمال دارد یک اتفاق خاص بیفتد. اگر یک سکهٔ سالم را به هوا پرتاب کنیم، دو حالت بیشتر ندارد: یا شیر می‌آید یا خط. احتمال آمدن شیر دقیقاً برابر با احتمال آمدن خط و مساوی است با $ \frac{1}{2} $. این یعنی از هر دو پرتاب، انتظار داریم یک بار شیر بیاید.
$ \text{احتمال} = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}} $
مثلاً در یک تاس معمولی که شش وجه دارد، احتمال آمدن عدد 4 چقدر است؟ فقط یک حالت مطلوب (آمدن عدد 4) و شش حالت کلی وجود دارد. پس احتمال آن $ \frac{1}{6} $ است.
نقش تکرار در پیدا کردن احتمال
گاهی ما از قبل نمی‌دانیم احتمال یک رویداد چقدر است. مثلاً یک کیسه پر از مهره‌های رنگی داریم که تعداد آن‌ها را نمی‌دانیم. چگونه می‌توانیم احتمال بیرون آوردن یک مهره قرمز را حدس بزنیم؟ پاسخ در «تکرار آزمایش» است. اگر این کار را بارها و بارها انجام دهیم و نتیجه را یادداشت کنیم، متوجه می‌شویم که با افزایش تعداد دفعات، نسبت مهره‌های قرمز به کل دفعات آزمایش، به عدد ثابتی نزدیک می‌شود. این عدد ثابت، در واقع همان احتمال واقعی ما است.
| تعداد دفعات برداشتن مهره | تعداد دفعات مهره قرمز | احتمال تخمینی | وضعیت دقت |
|---|---|---|---|
| 10 | 3 | $ \frac{3}{10} = 0.3 $ | کم |
| 50 | 18 | $ \frac{18}{50} = 0.36 $ | متوسط |
| 200 | 75 | $ \frac{75}{200} = 0.375 $ | زیاد |
یک بازی ساده برای درک بهتر
بیایید یک بازی انجام دهیم. شما یک تاس دارید. قرار است آن را 30 بار پرتاب کنید و تعداد دفعاتی که عدد 2 می‌آید را بشمارید. اگر فقط 3 بار عدد 2 آمد، نسبت شما $ \frac{3}{30} = 0.1 $ می‌شود. اما اگر این کار را 300 بار تکرار کنید، این نسبت به عدد $ \frac{1}{6} \approx 0.166 $ بسیار نزدیک‌تر خواهد شد. این همان قدرت تکرار است!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. حافظه سکه صفر است! نتیجه هر پرتاب کاملاً مستقل از پرتاب قبلی است. حتی اگر ده بار شیر آمده باشد، احتمال شیر در پرتاب یازدهم باز هم $ \frac{1}{2} $ است. این یک باور غلط اما بسیار رایج است.
در تعداد دفعات کم، شانس و تصادف نقش بزرگی بازی می‌کنند. مانند این است که فقط یک قسمت از یک فیلم بلند را ببینید و در مورد کل داستان قضاوت کنید. برای قضاوت درست، باید فیلم کامل (تکرار زیاد) را ببینید.
هنگامی که هواشناس می‌گوید 70% احتمال بارش باران وجود دارد، یعنی بر اساس داده‌های گذشته (تکرار شرایط مشابه آب‌وهوایی)، در 70 روز از هر 100 روز با این شرایط، باران آمده است.
احتمال یک ابزار ریاضی برای اندازه‌گیری شانس است. وقتی ما یک آزمایش شانسی (مانند پرتاب تاس یا سکه) را بارها تکرار می‌کنیم، نسبت دفعات موفقیت به کل دفعات، به احتمال واقعی آن رویداد نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. این قانون مهم، «قانون اعداد بزرگ» نام دارد. پس برای پیدا کردن یک احتمال ناشناخته، کافی است آزمایش را آنقدر تکرار کنیم تا به جواب مطمئن برسیم.
پاورقی
۱قانون اعداد بزرگ (Law of Large Numbers): یک قانون اساسی در نظریه احتمال که بیان می‌کند با افزایش تعداد دفعات یک آزمایش، میانگین نتایج به مقدار مورد انتظار (احتمال واقعی) نزدیک می‌شود.
۲احتمال (Probability): اندازه‌گیری عددی شانس رخ دادن یک رویداد خاص.