تقریب به روش قطع کردن: هنر سادهسازی اعداد
تقریب چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
گاهی اوقات یک عدد، رقمهای اعشاری بسیار زیادی دارد. برای مثال، حاصل تقسیم 10 ÷ 3 برابر است با 3.333333... که این سهها تا بینهایت ادامه دارند. گفتن یا نوشتن چنین عددی دشوار است. به همین دلیل، ما از تقریب۲ استفاده میکنیم. تقریب یعنی یک مقدار نزدیک و سادهشده را به جای مقدار دقیق و پیچیده به کار ببریم. روشهای مختلفی برای تقریب وجود دارد که قطع کردن یکی از سادهترین و رایجترین آنهاست.
روش قطع کردن چگونه عمل میکند؟
در روش قطع کردن، ما تصمیم میگیریم که عددمان را تا چند رقم اعشار نگه داریم. سپس تمام رقمهای بعد از آن مرتبه را به سادگی حذف میکنیم. به این عمل قطع کردن میگویند. برای درک بهتر، مراحل زیر را دنبال کنید:
گام اول: تعیین مرتبهی تقریب
اول باید مشخص کنید که میخواهید عدد تا کدام رقم اعشار نمایش داده شود. مثلاً تا یک رقم، دو رقم یا سه رقم بعد از اعشار.
گام دوم: شناسایی و حذف ارقام
بعد از رقم مورد نظرتان یک خط فرضی بکشید. همهی رقمهای سمت راست این خط را نادیده بگیرید و حذف کنید.
گام سوم: نگهداشتن بخش باقیمانده
قسمتی از عدد که در سمت چپ خط فرضی باقی مانده، همان جواب تقریبی شما به روش قطع کردن است.
| عدد اصلی | مرتبهی تقریب | عدد پس از قطع کردن | توضیح |
|---|---|---|---|
| 15.789 | یکان (اعداد صحیح) | 15 | تمام رقمهای بعد از ممیز حذف شدند. |
| 15.789 | یک رقم اعشار (دهم) | 15.7 | رقمهای '۸۹' بعد از رقم دهم حذف شدند. |
| 15.789 | دو رقم اعشار (صدم) | 15.78 | رقم '۹' بعد از رقم صدم حذف شد. |
| 2.7182818... | سه رقم اعشار (هزارم) | 2.718 | عدد e (عدد نپر) پس از قطع کردن تا سه رقم اعشار. |
تفاوت قطع کردن با گرد کردن معمولی
یک روش رایج دیگر برای تقریب، گرد کردن۳ است. این دو روش با هم تفاوت دارند. در گرد کردن، به رقم بعد از مرتبهی مورد نظر نگاه میکنیم. اگر این رقم ۵ یا بیشتر از ۵ باشد، رقم مرتبهی مورد نظر را یک واحد افزایش میدهیم. اما در قطع کردن، اهمیتی به رقم بعدی نمیدهیم و فقط آن را حذف میکنیم.
| عدد اصلی | مرتبه | قطع کردن | گرد کردن | تفاوت |
|---|---|---|---|---|
| 3.49 | یکان | 3 | 3 | یکسان (چون رقم دهم ۴ است که کمتر از ۵ است) |
| 3.51 | یکان | 3 | 4 | متفاوت (چون رقم دهم ۵ است و در گرد کردن، یکان افزایش مییابد) |
| 7.89 | یک رقم اعشار | 7.8 | 7.9 | متفاوت (رقم صدم ۹ است که باعث گرد شدن رقم دهم به ۹ میشود) |
کاربردهای روش قطع کردن در دنیای واقعی
شاید فکر کنید این موضوع فقط مربوط به درس ریاضی است، اما قطع کردن در زندگی روزمرهی ما بسیار دیده میشود.
مثال ۱: خرید از سوپرمارکت
قیمت یک بسته شیر ممکن است ۲۵,۹۹۰ تومان باشد. وقتی برای محاسبهی کل خرید تقریبی حساب میکنید، ممکن است بگویید: "قیمت شیر تقریباً ۲۶,۰۰۰ تومان است." اینجا شما از روش گرد کردن استفاده کردهاید. اما اگر فروشنده بخواهد خیلی ساده و سریع حساب کند، ممکن است بگوید: "شیر ۲۵,۰۰۰ تومان"، که این یک قطع کردن به مرتبهی هزارتومان است.
مثال ۲: اندازهگیری در آزمایشگاه
یک دانشآموز در آزمایشگاه علوم طول یک برگ را اندازه میگیرد. خطکش او تا میلیمتر درجهبندی شده است. طول برگ دقیقاً روی خط ۷.۴ سانتیمتر نیست، بلکه کمی بعد از آن است، مثلاً ۷.۴۳ سانتیمتر. اگر او بخواهد نتیجه را فقط تا یک رقم اعشار گزارش دهد، با قطع کردن به جواب ۷.۴ سانتیمتر میرسد.
مثال ۳: برنامهنویسی کامپیوتر
در برخی زبانهای برنامهنویسی، وقتی یک عدد اعشاری را به عدد صحیح تبدیل میکنیم، کامپیوتر به طور خودکار از روش قطع کردن استفاده میکند. مثلاً عدد ۹.۹۹ به سادگی به ۹ تبدیل میشود، نه به ۱۰.
خطا در تقریب به روش قطع کردن
وقتی از تقریب استفاده میکنیم، نتیجهی ما با مقدار واقعی تفاوت دارد. به این تفاوت، خطای تقریب۴ میگویند. در روش قطع کردن، خطا همیشه مثبت نیست و بستگی به علامت عدد اصلی دارد. اما مقدار خطای مطلق۵ همیشه کمتر از مقدار یک واحد در آخرین مرتبهی حفظشده است.
برای مثال، اگر عدد ۱۵.۷۸۹ را تا یک رقم اعشار قطع کنیم (۱۵.۷)، خطای مطلق ما از اختلاف این دو عدد به دست میآید:
$|۱۵.۷۸۹ - ۱۵.۷| = ۰.۰۸۹$
مشاهده میکنید که این خطا از ۰.۱ (یک دهم) کمتر است، که همان یک واحد در مرتبهی دهم (آخرین مرتبهی حفظشده) است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. این یک باور غلط رایج است. قطع کردن برای اعداد مثبت، عدد را کوچکتر یا مساوی مقدار اصلی نگه میدارد. اما برای اعداد منفی، نتیجه برعکس است. مثلاً قطع کردن عدد -۵.۸ به سمت عدد صحیح، نتیجه -۵ را میدهد که از عدد اصلی بزرگتر است (چون -۵ در سمت راست -۵.۸ روی محور اعداد قرار دارد).
این بستگی به شرایط دارد. در محاسبات مالی که دقت بالا مهم است، معمولاً از قوانین استاندارد گرد کردن استفاده میشود تا انصاف رعایت شود. اما در تخمینهای سریع یا در برخی محاسبات کامپیوتری که سرعت اهمیت بیشتری دارد، قطع کردن میتواند گزینهی سادهتری باشد. همچنین در مواردی که میخواهیم مطمئن باشیم تخمین ما از مقدار واقعی بیشتر نشود (مثلاً در محاسبهی ظرفیت یک سالن)، قطع کردن برای اعداد مثبت میتواند منطقی باشد.
خیر. بعد از قطع کردن، عددی که به دست میآوریم، پاسخ نهایی است و نیاز به تغییر دیگری ندارد. برخلاف گرد کردن که ممکن است رقم آخر تغییر کند، در قطع کردن ارقام باقیمانده دقیقاً همان ارقام اصلی هستند و دستکاری نمیشوند.
پاورقی
۱قطع کردن (Truncation): روشی برای تقریبزدن اعداد با حذف تمام ارقام بعد از یک مرتبهی مشخص، بدون در نظر گرفتن مقدار آن ارقام.
۲تقریب (Approximation): یافتن مقداری که به اندازهی کافی به مقدار دقیق یک چیز نزدیک باشد و برای مقاصد عملی جایگزین آن شود.
۳گرد کردن (Rounding): روشی برای تقریبزدن اعداد که در آن، به رقم بعد از مرتبهی مورد نظر نگاه شده و در صورت ۵ یا بیشتر بودن، رقم آخر افزایش مییابد.
۴خطای تقریب (Approximation Error): تفاوت بین مقدار تقریبی و مقدار دقیق.
۵خطای مطلق (Absolute Error): مقدار قدرمطلق خطای تقریب، که همیشه یک عدد مثبت است.
