تقریب: هنر یافتن مقدارهای نزدیکبهواقعیت
تقریب چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
فرض کنید میخواهید تعداد دانشآموزان یک مدرسه بزرگ را به سرعت به دوست خود بگویید. احتمالاً نمیگویید «دقیقاً 743 نفر»، بلکه میگویید «حدود 750 نفر» یا «نزدیک به 700 نفر». این «حدود» و «نزدیک به» همان تقریب است. ما از تقریب استفاده میکنیم زیرا:
- محاسبات را سریعتر و سادهتر میکند: کار کردن با عدد 750 بسیار آسانتر از عدد 743 است.
- درک و تصور را آسانتر میکند: گفتن «حدود یک کیلومتر» قابلدرکتر از گفتن «دقیقاً 998 متر» است.
- در بسیاری از موارد، مقدار دقیق لازم نیست: وقتی برای مهمانی خرید میکنید، لازم نیست قیمت هر چیز را تا دقیقترین واحد پول بدانید؛ یک برآورد کلی کافی است.
گرد کردن، سادهترین روش تقریب
گرد کردن متداولترین روش برای تقریب زدن اعداد است. در این روش، یک عدد به نزدیکترین مضرب از 10، 100، 1000 و غیره تبدیل میشود. قاعدهٔ اصلی آن به این صورت است:
- اگر رقم سمت راست محل گرد کردن (مثلاً رقم یکان وقتی میخواهیم به دهگان گرد کنیم) 5 یا بزرگتر از 5 باشد، رقم محل گرد کردن یک واحد افزایش مییابد.
- اگر رقم سمت راست کوچکتر از 5 باشد، رقم محل گرد کردن بدون تغییر باقی میماند.
| عدد اصلی | گرد شده به نزدیکترین 10 | گرد شده به نزدیکترین 100 | توضیح |
|---|---|---|---|
| 47 | 50 | 0 (یا 100 بسته به زمینه) | رقم یکان 7 است که بزرگتر از 5 است، پس دهگان از 4 به 5 افزایش مییابد. |
| 132 | 130 | 100 | رقم یکان 2 است که کوچکتر از 5 است، پس دهگان (3) تغییر نمیکند. |
| 2.78 | 2.8 (گرد به یک رقم اعشار) | 3 (گرد به عدد صحیح) | رقم دوم اعشار 8 است که بزرگتر از 5 است، پس رقم اول از 7 به 8 افزایش مییابد. |
برآورد کردن: تقریب با محاسبات ذهنی
برآورد، نوعی تقریب است که در آن بدون انجام محاسبات دقیق، تنها با نگاه کردن به اعداد و استفاده از محاسبات ذهنی ساده، به یک نتیجهٔ تقریبی میرسیم. این مهارت برای چک کردن پاسخ مسائل و تصمیمگیریهای سریع بسیار مفید است.
مثال: اگر قیمت سه کتاب 12,500 تومان، 8,750 تومان و 15,200 تومان باشد، برای برآورد کل مبلغ، اعداد را به نزدیکترین هزار گرد میکنیم: 13,000 + 9,000 + 15,000 = 37,000 تومان. حالا میدانیم که مبلغ کل باید حدود 37,000 تومان باشد. اگر محاسبهٔ دقیق عددی بسیار متفاوت مانند 50,000 تومان را نشان دهد، متوجه اشتباه خود میشویم.
تقریب در دنیای ریاضیات پیشرفتهتر
با پیشرفت در ریاضیات، با اعداد و مفاهیمی روبرو میشویم که نوشتن مقدار دقیق آنها غیرممکن یا بسیار دشوار است. در اینجا تقریب به کمک ما میآید.
۱. تقریب اعداد گویا[4] و گنگ[5]: عدد پی ($\pi$) یک عدد گنگ است. مقدار دقیق آن را نمیتوان به صورت یک کسر یا عدد اعشاری پایانپذیر نوشت. بنابراین از تقریبهای معروف آن استفاده میکنیم:
- تقریب کسری: $\pi \approx \frac{22}{7}$
- تقریب اعشاری (با دو رقم اعشار): $\pi \approx 3.14$
- تقریب اعشاری (با پنج رقم اعشار): $\pi \approx 3.14159$
هرچه تعداد ارقام اعشاری بیشتری استفاده کنیم، تقریب ما به مقدار واقعی نزدیکتر خواهد بود. ریشهٔ دوم عدد 2 ($\sqrt{2}$) نیز یک عدد گنگ است و معمولاً از تقریب $\sqrt{2} \approx 1.414$ استفاده میشود.
۲. خطای تقریب[6]: تفاوت بین مقدار تقریبی و مقدار واقعی را «خطای تقریب» مینامیم. این خطا میتواند به دو صورت بیان شود:
- خطای مطلق[7]: قدر مطلق تفاوت مقدار واقعی و تقریبی.
$\text{خطای مطلق} = |\text{مقدار واقعی} - \text{مقدار تقریبی}|$ - خطای نسبی[8]: نسبت خطای مطلق به مقدار واقعی، که معمولاً به صورت درصد بیان میشود.
$\text{خطای نسبی} = \frac{\text{خطای مطلق}}{\text{مقدار واقعی}} \times 100\%$
کاربردهای شگفتانگیز تقریب در علم و زندگی
تقریب فقط به ریاضیات محدود نمیشود و در حوزههای مختلفی کاربرد اساسی دارد:
- مهندسی و ساختوساز: در طراحی پلها و ساختمانها، از تقریب برای محاسبهی بارها و مقاومت مصالح استفاده میشود. رسیدن به مقادیر کاملاً دقیق غیرعملی است، اما یک تقریب خوب، ایمنی و پایداری سازه را تضمین میکند.
- علوم کامپیوتر: الگوریتمهای بسیاری برای حل مسائل پیچیده وجود دارند که به جای جواب دقیق، یک جواب تقریبی اما بهاندازهٔ کافی خوب و سریع ارائه میدهند. این الگوریتمها در مسیریابی نقشه، توصیهی فیلم و... استفاده میشوند.
- نجوم و فیزیک: فاصلههای بین سیارات و اندازهی کهکشانها آنقدر بزرگ هستند که همیشه به صورت تقریبی بیان میشوند. حتی در فیزیک، بسیاری از مدلها (مانند سقوط آزاد در خلأ) خود یک تقریب از دنیای واقعی هستند.
- اقتصاد و مالی: پیشبینیهای اقتصادی، نرخ تورم و رشد بازار همگی بر پایهٔ مدلهای تقریبی انجام میشوند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
[1] تقریب (Approximation)
[2] گرد کردن (Rounding)
[3] برآورد (Estimation)
[4] عدد گویا (Rational Number): عددی که بتوان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت.
[5] عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نتوان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت و表达 اعشاری آن پایانناپذیر و غیرتکرارشونده است.
[6] خطای تقریب (Approximation Error)
[7] خطای مطلق (Absolute Error)
[8] خطای نسبی (Relative Error)
