تناسب: زبان ریاضی برای بیان تعادل
تناسب چیست و چگونه نشان داده می‌شود؟
در هسته‌ی خود، تناسب بیان می‌کند که دو نسبت با یکدیگر برابر هستند. نسبت، مقایسه‌ی دو کمیت با هم از طریق تقسیم است. برای مثال، اگر در یک کلاس ۵ پسر و ۱۰ دختر وجود داشته باشد، نسبت پسران به دختران 5:10 یا ساده‌شده‌ی آن 1:2 است.
حالا فرض کنید در کلاس دیگری، این نسبت ۳ پسر به ۶ دختر (3:6 = 1:2) باشد. می‌توان گفت نسبت پسران به دختران در هر دو کلاس یکسان است. این یک تناسب است. تناسب را به صورت a : b = c : d یا به شکل کسری $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ نشان می‌دهیم.
انواع مختلف تناسب: مستقیم و معکوس
همه‌ی تناسب‌ها شبیه هم نیستند. دو نوع اصلی وجود دارد که رفتار کمیت‌ها در مقابل یکدیگر را توصیف می‌کنند.
| نوع تناسب | توضیح | مثال | فرمول |
|---|---|---|---|
| مستقیم3 | با افزایش یک کمیت، کمیت دیگر نیز به همان نسبت افزایش می‌یابد و برعکس. | قیمت کل میوه و وزن آن | $\frac{y}{x} = k$ |
| معکوس4 | با افزایش یک کمیت، کمیت دیگر به همان نسبت کاهش می‌یابد و برعکس. | تعداد کارگران و زمان اتمام پروژه | $y \times x = k$ |
حل گام‌به‌گام مسائل تناسب
بیایید با یک مثال ساده مراحل حل یک مسئله‌ی تناسب را بررسی کنیم:
مسئله: اگر ۳ مداد قیمتی معادل 6000 تومان داشته باشد، قیمت ۵ مداد مشابه چقدر است؟
گام ۱ (تشخیص نوع تناسب): هرچه مداد بیشتری بخریم، باید پول بیشتری بپردازیم. پس تناسب مستقیم است.
گام ۲ (تنظیم تناسب): نسبت مداد به قیمت را می‌نویسیم: $\frac{3}{6000} = \frac{5}{x}$ که در آن x قیمت ۵ مداد است.
گام ۳ (ضرب متقاطع): از قانون حاصلضرب طرفین و وسایط استفاده می‌کنیم: $3 \times x = 6000 \times 5$
گام ۴ (حل معادله): $3x = 30000$ سپس دو طرف را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: $x = \frac{30000}{3} = 10000$
پاسخ: قیمت ۵ مداد 10000 تومان است.
کاربرد تناسب در جهان واقعی: از نقشه‌کشی تا آشپزی
تناسب فقط یک مفهوم کتابی نیست؛ جزئی از زندگی روزمره‌ی ماست.
مقیاس نقشه‌ها و ماکت‌ها: نقشه‌ها از مقیاس استفاده می‌کنند که یک تناسب است. مثلاً مقیاس 1:100000 یعنی 1 سانتی‌متر روی نقشه معادل 100000 سانتی‌متر (1 کیلومتر) در دنیای واقعی است. اگر فاصله‌ی دو شهر روی نقشه 5 سانتی‌متر باشد، با استفاده از تناسب می‌توان فاصله‌ی واقعی را محاسبه کرد: $\frac{1}{100000} = \frac{5}{x}$.
دستورات آشپزی: اگر یک دستور پخت کیک برای ۴ نفر باشد و بخواهیم برای ۱۰ نفر بپزیم، باید مقدار همه‌ی مواد اولیه را در تناسب مستقیم افزایش دهیم. اگر برای ۴ نفر به 200 گرم آرد نیاز است، برای ۱۰ نفر به x گرم آرد نیاز داریم: $\frac{4}{200} = \frac{10}{x}$.
پرسش‌های متداول و اشتباهات رایج
یک آزمایش ساده این است که از خود بپرسید: «اگر یکی از کمیت‌ها دو برابر شود، دیگری چه می‌شود؟» اگر آن یکی هم دو برابر شد، تناسب مستقیم است. اگر به نصف کاهش یافت، تناسب معکوس است.
رایج‌ترین اشتباه، قرار ندادن کمیت‌های هم‌جنس در یک طرف نسبت است. مثلاً در مسئله‌ی مداد، باید صورت هر دو کسر تعداد مداد و مخرج آن‌ها قیمت باشد ($\frac{تعداد}{قیمت}$) یا برعکس. اگر یکی را برعکس بنویسید ($\frac{تعداد}{قیمت} = \frac{قیمت}{تعداد}$) جواب اشتباه می‌شود.
خیر. تناسب یک مفهوم کلی است و برای همه‌ی اعداد شامل اعداد اعشاری و کسری نیز کاربرد دارد. روش حل دقیقاً یکسان است.
پاورقی
1 تناسب (Proportion)
2 نسبت (Ratio)
3 تناسب مستقیم (Direct Proportion)
4 تناسب معکوس (Inverse Proportion)