کسرهای هم‌مخرج (Like Fractions)
کسر چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟
یک کسر روشی برای نشان دادن قسمت‌هایی از یک کل است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است:
- صورت کسر1 (عدد بالا): نشان می‌دهد چند قسمت از آن کل را در نظر گرفته‌ایم.
- مخرج کسر2 (عدد پایین): نشان می‌دهد آن کل به چند قسمت مساوی تقسیم شده است.
برای مثال، کسر $\frac{3}{5}$ به این معنی است که یک واحد به 5 قسمت مساوی تقسیم شده و ما 3 قسمت از آن را داریم.
تعریف و شناسایی کسرهای هم‌مخرج
کسرهای هم‌مخرج به کسرهایی گفته می‌شود که مخرج‌های یکسانی دارند. یعنی کلِ مورد نظر در همهٔ آن کسرها به تعداد قسمت‌های مساوی یکسانی تقسیم شده است. تنها تعداد قسمت‌هایی که از آن کل گرفته‌ایم (صورت کسر) متفاوت است.
برای تشخیص این کسرها کافیست به عدد پایین (مخرج) هر کسر نگاه کنید. اگر این عدد در همهٔ کسرها یکسان بود، آن‌ها هم‌مخرج هستند.
جمع کردن کسرهای هم‌مخرج
جمع کردن کسرهای هم‌مخرج بسیار ساده است. از آنجایی که همهٔ کسرها قسمت‌هایی از یک کلِ یکسان را نشان می‌دهند، فقط کافیست قسمت‌ها (صورت‌ها) را با هم جمع کنیم. مخرج بدون تغییر باقی می‌ماند.
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
مثال عملی: علی $\frac{2}{8}$ یک پیتزا و سارا $\frac{3}{8}$ از همان پیتزا را خورده است. آن‌ها در مجموع چه مقدار از پیتزا را خورده‌اند؟
- صورت‌ها را جمع می‌کنیم: $2 + 3 = 5$
- مخرج را بدون تغییر می‌نویسیم: $8$
- نتیجه می‌شود: $\frac{5}{8}$
پس آن‌ها در مجموع $\frac{5}{8}$ پیتزا خورده‌اند.
تفریق کردن کسرهای هم‌مخرج
تفریق کسرهای هم‌مخرج دقیقاً مشابه جمع کردن آن‌ها است. فقط به جای جمع کردن صورت‌ها، آن‌ها را از هم کم می‌کنیم.
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
مثال عملی: یک بسته شیرینی داشتیم. $\frac{7}{9}$ از آن باقی مانده بود. اگر $\frac{2}{9}$ از آن را برای مهمان ببریم، چه مقدار از شیرینی باقی می‌ماند؟
- صورت‌ها را تفریق می‌کنیم: $7 - 2 = 5$
- مخرج را بدون تغییر می‌نویسیم: $9$
- نتیجه می‌شود: $\frac{5}{9}$
پس $\frac{5}{9}$ از شیرینی باقی می‌ماند.
مقایسه کسرهای هم‌مخرج
وقتی مخرج دو کسر برابر باشد، مقایسهٔ آن‌ها بسیار آسان می‌شود. تنها کاری که باید بکنید این است که به صورت کسرها نگاه کنید. کسری که صورت بزرگ‌تری دارد، خودش نیز بزرگ‌تر است.
مثال: کدام کسر بزرگ‌تر است؟ $\frac{5}{12}$ یا $\frac{7}{12}$
از آنجایی که مخرج‌ها برابر هستند (12)، فقط صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم. چون 7 > 5، پس $\frac{7}{12} > \frac{5}{12}$.
| عملیات | قانون | مثال |
|---|---|---|
| جمع | صورت‌ها را جمع + مخرج ثابت | $\frac{2}{11} + \frac{4}{11} = \frac{6}{11}$ |
| تفریق | صورت‌ها را تفریق - مخرج ثابت | $\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10}$ |
| مقایسه | مخرج مساوی → مقایسه صورت | $\frac{4}{7} > \frac{2}{7}$ |
کاربرد کسرهای هم‌مخرج در زندگی روزمره
این کسرها در بسیاری از موقعیت‌های روزمره به کار می‌آیند. زمانی که با چیزهایی سر و کار داریم که به قسمت‌های مساوی تقسیم شده‌اند، مانند:
- پخت و پز: زمانی که یک دستور غذا را دو برابر یا نصف می‌کنید. اگر دستور اصلی نیاز به $\frac{3}{4}$ فنجان آرد داشته باشد و شما بخواهید آن را دو برابر کنید، باید $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$ فنجان آرد بردارید.
- مدیریت زمان: تقسیم‌بندی ساعت. اگر $\frac{1}{4}$ ساعت را صرف تکالیف ریاضی و $\frac{2}{4}$ ساعت را صرف تکالیف علوم کنید، در کل $\frac{3}{4}$ ساعت درس خوانده‌اید.
- خرید و فروش: اگر یک تکه پارچه داشته باشید و بخواهید بخشی از آن را بفروشید. اگر $\frac{5}{8}$ متر پارچه داشته باشید و $\frac{2}{8}$ متر آن را بفروشید، $\frac{3}{8}$ متر برای شما باقی می‌ماند.
سوالات متداول و اشتباهات رایج
پاورقی
1 صورت کسر (Numerator)
2 مخرج کسر (Denominator)
3 کسر نامناسب (Improper Fraction): کسری که در آن صورت بزرگ‌تر یا مساوی مخرج است.
4 عدد مخلوط (Mixed Number): عددی که از ترکیب یک عدد طبیعی و یک کسر حقیقی ساخته می‌شود.