سینماتیک یک بعدی: سرعت، شتاب و مسیر حرکت

سینماتیک یک بعدی

سینماتیک یکی از شاخه های مکانیک است که به توصیف حرکت می پردازد. توصیف حرکت به چند روش انجام می شود. توصیف را می توان به وسیله نمودارها، معادلات و روابط بین کمیت ها انجام داد. در سینماتیک، حرکت با ارتباط بین کمیت هایی مانند سرعت، شتاب و جابجایی توصیف می گردد.

• سرعت متوسط و سرعت لحظه ای

در مسیر خانه تا مدرسه، سرعت خودروی شما تغییرات زیادی دارد. اگر سرعت سنج خودرو را نگاه کنید، متوجه این تغییرات خواهید شد. سرعت سنج خودرو، سرعت لحظه ای خودرو را نشان می دهد. سرعت سنج، سرعت در یک لحظۀ خاص را نشان می دهد.

سرعت لحظه ای یک وسیله را نباید با سرعت متوسط آن اشتباه گرفت. سرعت متوسط برابر مقدار مسافتی است که در واحد زمان طی شده است. سرعت متوسط به صورت نسبت مسافت به مدت زمان تعریف می شود. فرض کنید در مدت 12 دقیقه فاصلۀ خانه تا مدرسه که 5 مایل است را سفر کرده باشید، سرعت متوسط خودرو در این سفر چقدر است؟

به طور میانگین، خودروی شما با سرعت 25 مایل در ساعت حرکت کرده است. در طول سفر، بعضی وقت ها شما توقف داشته اید، بعضی اوقات سرعت سنج خودرو عدد 30 مایل بر ساعت را نشان می دهد و .... با این حال در مجموع مثل این است که شما کل مسیر را با سرعت ثابت 25 مایل در ساعت پیموده باشد.

در این حرکت تندی متوسط هم برابر سرعت متوسط است. زیرا در حرکت روی مسیر مستقیم در یک جهت، مقدار جابجایی و مسافت با هم برابر هستند و در نتیجه سرعت و تندی با هم برابرند.

• جهت سرعت و شتاب

فرض کنید مسیر حرکت یک ماشین مسابقه ای به صورت شکل زیر باشد. ابتدا سطحی شیب دار، سپس مسیری مستقیم، سپس چرخش 180 درجه دور یک نیم دایره  و در نهایت مسیری مستقیم. چنین حرکتی با انیمیشن زیر قابل نمایش است.

    - در سطح شیب دار، با حرکت به سمت پایین به دلیل نیروی گرانش سرعت خودرو افزایش می یابد، یعنی شتاب می گیرد.

    - در مسیرهای مستقیم، به علت نیروی اصطکاک و مقاومت هوا سرعت اندکی کاهش می یابد. در این حالت نیز خودرو دارای شتاب است چون سرعت تغییر می کند.

    - در مسیر نیم دایره، جهت حرکت در حال تغییر است. در این حالت نیز به علت تغییر در جهت حرکت، خودرو شتاب دارد.  اجسام شتاب دار، دارای تغییرات سرعت هستند خواه این تغییر، تغییر مقدار سرعت ( افزایش یا کاهش) باشد، خواه تغییر جهت حرکت باشد.

این انیمیشن، اطلاعات دیگری هم در مورد حرکت خودرو بیان می کند. سرعت و شتاب پارامترهایی دارای جهت هستند  و در تصویر متحرک با بردار نمایش داده شده اند.  جهت این بردارها روی مسیر حرکت، جهت سرعت و شتاب را در هر مسیر نشان می دهند.

 دقت کنید که بردار سرعت همواره هم جهت با مسیر حرکت خودرو است. برای مثال وقتی خودرو در حال حرکت به شرق است، جهت بردار سرعت به شرق است و وقتی خودرو در حال حرکت به غرب است، جهت بردار سرعت به غرب است.

یافتن جهت بردار شتاب، مقداری پیچیده تر است. همانطور که در انیمیشن می بینید، خودرویی که در حال حرکت به شرق است، ممکن است بردار شتابش به سمت غرب باشد و بالعکس.

پس چگونه می توان جهت بردار شتاب را تعیین کرد؟

یک قاعده کلی ساده به این صورت است که متحرکی که سرعت آن در حال کاهش است، بردار شتاب آن در خلاف جهت بردار سرعت خواهد بود.

• مقایسه حرکت شتاب دار و بدون شتاب

انیمیشن سه اتومبیل زیر را مشاهده کنید. با استفاده از آن به سوالات زیر پاسخ دهید.

1- کدام اتومبیل ها ( قرمز، سبز یا آبی) دارای حرکت شتاب داری هستند؟ هر اتومبیل را به صورت جداگانه بررسی کنید و پاسخ را بیابید.

اگر هر اتومبیل را جداگانه بررسی کنید، متوجه می شوید که اتومبیل های سبز و آبی دارای شتاب هستند. اتومبیل قرمز با سرعت ثابت حرکت می کند، زیرا در دوره های زمانی مساوی، مسافت های یکسانی را طی می کند. سرعت اتومبیل های سبز و آبی در حال افزایش است و با گذشت زمان، در هر ثانیه مسافت های بزرگ تری را می پیمایند.

2- کدام اتومبیل ( قرمز، سبز یا آبی) بیشترین شتاب را دارد؟

اتومبیل آبی بیشترین شتاب را دارد. زیرا تغییرات سرعت آن با شدت بیشتری صورت می گیرد.

3- نمودار جابجایی-زمان هر یک از اتومبیل ها در شکل روبرو نشان داده شده است.هر یک از منحنی های این نمودار مربوط به کدام یک از اتومبیل های قرمز، سبز یا آبی است؟

اتومبیل قرمز با سرعت ثابت حرکت می کند و بنابراین متناظر با منحنی B است که دارای شیب ثابتی است.

اتومبیل های سبز و آبی دارای سرعت متغییر هستند. اتومبیل سبز متناظر با منحنی C است و اتومبیل آبی متناظر با منحنی A است. دقت کنید چون تغییرات سرعت اتومبیل سبز بیشتر است بنابراین در نمودار جابجایی – زمان هم باید شیب منحنی بیشتر از اتومبیل آبی باشد.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت ثابت مثبت

در شکل زیرمتحرک با سرعت ثابت در جهت مثبت حرکت می کند. نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که فاصله مکانی و زمانی هر دو نقطۀ متوالی با هم برابر است یعنی سرعت ثابت است. با توجه به نمودار جابجایی نیز مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز ثابت است که خود به معنای سرعت ثابت متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان مثبت است که به معنای مثبت بودن سرعت است.

منحنی سرعت یک خط افقی ثابت با شیب صفر را نشان می دهد که به معنای صفر بودن شتاب است. این خط در ناحیه مثبت صفحه مختصات واقع شده است که باز هم مثبت بودن سرعت را نشان می دهد.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ صفر را نشان می دهد که باز هم به معنای صفر بودن شتاب است.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت ثابت منفی

در شکل زیرمتحرک با سرعت ثابت در جهت منفی حرکت می کند. نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که فاصله مکانی و زمانی هر دو نقطۀ متوالی با هم برابر است یعنی سرعت ثابت است. با توجه به نمودار جابجایی مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز ثابت است که خود به معنای سرعت ثابت متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان منفی است که به معنای منفی بودن سرعت است.

منحنی سرعت یک خط افقی ثابت با شیب صفر را نشان می دهد که به معنای صفر بودن شتاب است. این خط در ناحیه منفی صفحه مختصات واقع شده است که باز هم منفی بودن سرعت را نشان می دهد.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ صفر را نشان می دهد که باز هم به معنای صفر بودن شتاب است.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت مثبت با شتاب مثبت

در شکل زیرمتحرک با سرعت متغیر در جهت مثبت حرکت می کند. جسمی که در جهت مثبت حرکت می کند، دارای سرعت مثبت است. اگر سرعت جسم در حال افزایش باشد، بردار شتاب آن با بردار سرعت هم جهت می شود. بنابراین در این مثال چون سرعت افزایشی است، پس بردار شتاب هم جهت با بردار سرعت و مثبت است. نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که در بازه های زمانی مساوی، رفته رفته فاصله های مکانی بزرگ تری پیموده می شوند یعنی سرعت رفته رفته افزایش می یابد و حرکت دارای شتاب مثبتی است.

با توجه به نمودار جابجایی نیز مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز متغیر است که خود به معنای سرعت متغیر متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان مثبت است که به معنای مثبت بودن سرعت است.

منحنی سرعت خطی با شیب مثبت را نشان می دهد که به معنای مثبت بودن شتاب است. این خط در ناحیه مثبت صفحه مختصات واقع شده است که باز هم مثبت بودن سرعت را نشان می دهد.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ مثبت را نشان می دهد که باز هم به معنای مثبت بودن شتاب است.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت مثبت با شتاب منفی

در شکل زیرمتحرک با سرعت متغیر در جهت مثبت حرکت می کند. جسمی که در جهت مثبت حرکت می کند، دارای سرعت مثبت است. اگر سرعت جسم در حال کاهش باشد، بردار شتاب آن در خلاف جهت بردار سرعت است. بنابراین در این مثال چون سرعت کاهشی است، پس بردار شتاب در خلاف جهت بردار سرعت و منفی خواهد بود.  نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که در بازه های زمانی مساوی، رفته رفته فاصله های مکانی کوچک تری پیموده می شوند یعنی سرعت رفته رفته کاهش می یابد و حرکت دارای شتاب منفی است.

با توجه به نمودار جابجایی نیز مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز متغیر است که خود به معنای سرعت متغیر متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان مثبت است که به معنای مثبت بودن سرعت است.

منحنی سرعت خطی با شیب منفی را نشان می دهد که به معنای منفی بودن شتاب است. این خط در ناحیه مثبت صفحه مختصات واقع شده است که متناظر با سرعت مثبت است.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ منفی را نشان می دهد که متناظر با منفی بودن شتاب است.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت منفی با شتاب منفی

در شکل زیرمتحرک با سرعت متغیر در جهت منفی حرکت می کند. جسمی که در جهت منفی حرکت می کند، دارای سرعت منفی است. اگر سرعت جسم در حال افزایش باشد، بردار شتاب آن در جهت بردار سرعت است. بنابراین در این مثال چون سرعت افزایشی است، پس بردار شتاب در جهت بردار سرعت و منفی خواهد بود.  نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که در بازه های زمانی مساوی، رفته رفته فاصله های مکانی بزرگ تری پیموده می شوند یعنی سرعت رفته رفته افزایش می یابد و به عبارت دیگر شتاب آن با سرعت هم جهت است و لذا حرکت دارای شتاب منفی است.

با توجه به نمودار جابجایی نیز مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز متغیر است که خود به معنای سرعت متغیر متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان منفی است که به معنای منفی بودن جهت سرعت است.

منحنی سرعت، خطی با شیب منفی را نشان می دهد که به معنای منفی بودن جهت شتاب است. این خط در ناحیه منفی صفحه مختصات واقع شده است که متناظر با سرعت منفی است.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ منفی را نشان می دهد که متناظر با منفی بودن شتاب است.

دقت کنید که در این حالت چون جهت سرعت و شتاب هر دو منفی هستند، سرعت وسیله به تدریج در جهت منفی افزایش می یابد.

• نمودار مکان،سرعت و شتاب حرکت با سرعت منفی با شتاب مثبت

در شکل زیرمتحرک با سرعت متغیر در جهت منفی حرکت می کند. جسمی که در جهت منفی حرکت می کند، دارای سرعت منفی است. اگر سرعت جسم در حال کاهش باشد، بردار شتاب آن در خلاف جهت بردار سرعت است. بنابراین در این مثال چون سرعت کاهشی است، پس بردار شتاب در خلاف جهت بردار سرعت و مثبت خواهد بود.  نمودار نقطه ای حرکت متحرک نشان می دهد که در بازه های زمانی مساوی، رفته رفته فاصله های مکانی کوچک تری پیموده می شوند یعنی سرعت رفته رفته کاهش می یابد و به عبارت دیگر شتاب آن با در خلاف جهت سرعت است و لذا حرکت دارای شتاب مثبت است.

با توجه به نمودار مکان نیز مشاهده می شود که شیب منحنی مکان نیز متغیر است که خود به معنای سرعت متغیر متحرک است. همچنین شیب منحنی مکان منفی است که به معنای منفی بودن جهت سرعت است.

منحنی سرعت، خطی با شیب مثبت را نشان می دهد که به معنای مثبت بودن جهت شتاب است. این خط در ناحیه منفی صفحه مختصات واقع شده است که متناظر با سرعت منفی است.

منحنی شتاب یک خط افقی با عرض از مبدأ مثبت را نشان می دهد که متناظر با مثبت بودن شتاب است.

دقت کنید که در این حالت چون  جهت سرعت و شتاب مخالف هم هستند، سرعت وسیله به تدریج در جهت منفی کاهش می یابد.

• مسیر حرکت: نمودار جابجایی – زمان

دو اتومبیل شکل زیر را نگاه کنید. اتومبیل آبی جلوتر از اتومبیل قرمز حرکت کرده است. چون اتومبیل قرمز با سرعت بیشتری حرکت می کند، سبقت گرفته و پس از مدتی از اتومبیل آبی عبور می کند. نمودار مکان-زمان این دو اتومبیل را مشاهده کنید. هر دو دارای نموداری خطی با شیب ثابت هستند.  نمودارهای خطی، بیانگر سرعت ثابت این دو اتومبیل هستند. درست در لحظه ای که دو اتومبیل در کنار هم هستند، خط ها همدیگر را قطع می کنند. قطع کردن خط ها به این معنی است که در آن لحظه، مکان دو اتومبیل یکسان است.

منحنی های سرعت-زمان این دو اتومبیل هیچ وقت یکدیگر را قطع نمی کنند. زیرا در هیچ لحظه ای از زمان دارای سرعت مشابهی نیستند. دو اتومبیل در ثانیه هفتم، مکان یکسانی دارند ولی در هیچ لحظه ای سرعت مشابهی ندارند.

• مسیر حرکت: نمودار سرعت-زمان

دو اتومبیل شکل زیر را نگاه کنید. اتومبیل آبی جلوتر از اتومبیل قرمز حرکت کرده است. چون اتومبیل قرمز با سرعت بیشتری حرکت می کند، سبقت گرفته و پس از مدتی از اتومبیل آبی عبور می کند. نمودار سرعت-زمان این دو اتومبیل را مشاهده کنید که با خط های افقی رسم شده اند. این نمودارها، بیانگر سرعت ثابت این دو اتومبیل هستند. دقت کنید با وجود اینکه اتومبیل ها در لحظه ای از زمان از کنار هم عبور کرده اند، ولی نمودارهای سرعت-زمان همدیگر را قطع نمی کنند.زیرا در هیچ لحظه ای از زمان دارای سرعت مشابهی نیستند.

خط ها در نمودار مکان-زمان یکدیگر را قطع می کنند. زیرا زمانی وجود دارد که هر دو اتومبیل در مکان یکسانی قرار دارند ولی در هیچ لحظه ای سرعت مشابهی ندارند.

• آزمون از مساله مسابقه دو اتومبیل

اتومبیل آبی با سرعت ثابت m/s10 از کنار اتومبیل قرمزی که در حال سکون است، عبور می کند. درست در همان لحظه اتومبیل قرمز با شتاب m/s² 4 شروع به حرکت می کند و پس از 3 ثانیه به سرعت نهایی خود می رسد و با این سرعت ثابت به حرکت خود ادامه می دهد.  سرعت اتومبیل آبی در کل زمان 12 ثانیه همان مقدار ثابت m/s10 است. با توجه به این اطلاعات و مشاهدۀ نمودار سرعت حرکت دو اتومبیل به سوالات زیر پاسخ دهید:

1- سرعت نهایی اتومبیل قرمز چقدر است؟

12 متر بر ثانیه

2- پس از 3 ثانیه، مکان هر یک از اتومبیل ها را به دست آورید؟ (مساحت زیر منحنی سرعت-زمان در هر لحظه مکان یا موقعیت هر اتومبیل را مشخص می کند)

مکان اتومبیل قرمز:مساحت مثلث = 0.5*b*h = 0.5*(3 s)*(12 m/s) = 18 m

مکان اتومبیل آبی:مساحت مستطیل = b*h = (3 s)*(10 m/s) = 30 m

3- شیب خط قرمز در سه ثانیه اول حرکت را به دست آورید؟ شیب خط بیانگر چه پارامتری است؟

                  شیب: متر بر مجذور ثانیه(12 m/s- 0 m/s) / (3 s) = 4

4- پس از 9 ثانیه، مکان هر یک از اتومبیل ها را به دست آورید؟ (مساحت زیر منحنی سرعت-زمان در هر لحظه مکان یا موقعیت هر اتومبیل را مشخص می کند)

مکان اتومبیل قرمز= مساحت مستطیل + مساحت مثلث
0.5*b1*h1 + b2*h2 = 0.5*(3 s)*(12 m/s) +(6 s)*(12 m/s) = 18 m + 72 m = 90 m

مکان اتومبیل آبی:مساحت مستطیل = b*h = (9 s)*(10 m/s) = 90 m

5- آیا اتومبیل قرمز در ثانیه سوم از کنار اتومبیل آبی عبور می کند؟ اگر پاسخ خیر است، در چه زمانی این اتفاق روی می دهد؟

خیر! در ثانیه نهم این اتفاق می افتد. انیمیشن و نتیجه مساله چهارم نشان می دهند که پس از 9 ثانیه، مکان دو اتومبیل با هم برابر می شود.

6- آیا محل تلاقی دو منحنی در نمودار سرعت-زمان به معنی برابری مکان دو اتومبیل در آن لحظه است؟ توضیح دهید.

خیر! محل تلاقی منحنی های سرعت نشانگر برابر شده سرعت هاست. محل تلاقی منحنی های مکان نشانگر برابری مکان هاست

• سرعت، مکان و شتاب موشک دو مرحله ای

انیمیشن شکل زیر، حرکت یک موشک دو مرحله ای را به همراه نمودار سرعت – زمان نشان می دهد. حرکت موشک در حالتی که سوخت دارد شامل دو مرحلۀ متوالی با شتاب های متفاوت و زمانی که سوخت آن تمام می شود دارای حرکت سقوط آزاد است. شتاب مرحله اول برابر +10 m/s/s و شتاب مرحله دوم برابر +4.29 m/s/s است.  شیب نمودار سرعت – زمان بیانگر این شتاب هاست.

پس از 10 ثانیه، سوخت مرحله دوم تمام می شود و از این پس موشک تنها تحت تاثیر نیروی گرانش است. در این حالت شتاب برابر -10 m/s/s است.

در حالت بدون سوخت، از ثانیه 10 ام تا 16ام، موشک به علت سرعت اولیه، به حرکت رو به بالا ادامه می دهد، ولی سرعت رفته رفته کاهش می یابد (چون شتاب منفی است). 

در ثانیه 16 ام سرعت صفر شده و موشک حرکت برگشت به سمت زمین را با همان شتاب -10 m/s/s آغاز می کند. این بار مقدار سرعت رفته رفته افزایش می یابد و با بردار شتاب هم جهت است.