محور تانژانت: نمایش عمودی مقدار $ \tan x $ بر خط عمود بر محور کسینوسها در نقطهٔ A
مقدمهای بر دایرهٔ مثلثاتی و محورهای کسینوس و سینوس
در ریاضیات دبیرستان، دایرهٔ مثلثاتی دایرهای به شعاع واحد ($ R = 1 $) است که مرکز آن روی مبدأ مختصات قرار دارد. روی این دایره، هر زاویهٔ $ x $ (بر حسب رادیان یا درجه) با نقطهای روی محیط دایره متناظر است. مختصات این نقطه عبارت است از:
به عبارت دیگر، محور افقی (xها) نقش محور کسینوسها و محور عمودی (yها) نقش محور سینوسها را ایفا میکند. نقطهٔ A که در موضوع مقاله به آن اشاره شده، نقطهٔ تلاقی محور کسینوسها با دایرهٔ مثلثاتی در سمت راست مرکز است؛ یعنی نقطهٔ $ A = (1, 0) $. از این نقطه به عنوان مبدأ محور تانژانت استفاده میشود.
به عنوان مثال، زاویهٔ $ x = 30^\circ $ (معادل $ \frac{\pi}{6} $ رادیان) روی دایره نقطهای با مختصات $ (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) $ ایجاد میکند. در ادامه خواهیم دید که تانژانت این زاویه از روی امتداد خط عمود بر محور کسینوسها در نقطهٔ A قابل خواندن است.
تعریف محور تانژانت و نحوهٔ رسم آن
محور تانژانت خطی است عمود بر محور کسینوسها در نقطهٔ $ A $ با مختصات $ (1, 0) $. از آنجا که محور کسینوسها همان محور $ x $ است، عمود بر آن در نقطهٔ $ (1,0) $ خطی عمودی (موازی محور $ y $) خواهد بود. بنابراین محور تانژانت خطی عمودی به معادلهٔ $ x = 1 $ است.
نحوهٔ نمایش مقدار $ \tan x $ روی این محور بدین صورت است: امتداد نیمخطی که از مرکز دایره (مبدأ مختصات) به نقطهٔ متناظر با زاویهٔ $ x $ روی دایره رسم میشود، با محور تانژانت (خط $ x=1 $) در نقطهای به نام $ T $ برخورد میکند. طول عمودی این نقطه (یعنی مختصات $ y $ آن) برابر با $ \tan x $ خواهد بود.
نسبتهای مثلثاتی و تفسیر هندسی تانژانت
از نظر هندسی، تانژانت یک زاویه در مثلث قائمالزاویه به صورت نسبت ضلع مقابل به مجاور تعریف میشود. در دایرهٔ مثلثاتی، با رسم خط مماس بر دایره در نقطهٔ $ A $ (که همان محور تانژانت است)، مقدار $ \tan x $ به صورت طول پارهخط واقع روی این مماس، از نقطهٔ $ A $ تا محل برخورد با امتداد شعاع زاویه، قابل مشاهده است.
اگر $ \cos x = 0 $ (زاویهٔ $ 90^\circ $ یا $ \frac{\pi}{2} $ و زوایای مشابه)، امتداد شعاع با محور تانژانت موازی میشود و هیچگاه آن را قطع نمیکند؛ در نتیجه تانژانت تعریف نشده یا به سمت بینهایت میل میکند. این رفتار در نمودار تابع تانژانت به صورت مجانب قائم دیده میشود.
جدول مقادیر تانژانت برای زوایای مهم
| زاویه (درجه) | زاویه (رادیان) | $ \tan x $ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 30 | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45 | $ \frac{\pi}{4} $ | 1 |
| 60 | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \sqrt{3} $ |
تعیین علامت تانژانت در ربعهای مختلف با استفاده از محور تانژانت
یکی از مزایای محور تانژانت، کمک به تعیین علامت $ \tan x $ در ربعهای چهارگانه بدون نیاز به حفظ کردن جداول است. نقطهٔ برخورد امتداد شعاع با محور عمودی $ x=1 $، اگر بالای محور افقی (نقطهٔ A) باشد، مقدار تانژانت مثبت و اگر پایین آن باشد، مقدار تانژانت منفی است.
- ربع اول ($ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $): شعاع در ناحیهٔ بالای محور افقی با محور تانژانت برخورد میکند $ \Rightarrow \tan x > 0 $
- ربع دوم ($ \frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi $): امتداد شعاع به سمت چپ دایره، محور تانژانت را در پایین قطع میکند $ \Rightarrow \tan x < 0 $
- ربع سوم ($ \pi \lt x \lt \frac{3\pi}{2} $): هر دو سینوس و کسینوس منفیاند، اما نسبت آنها مثبت است. امتداد شعاع در این ربع، اگر از مرکز به طرف راست گسترش یابد (سمت مقابل نقطه روی دایره)، باز هم محور تانژانت را در بالای A قطع میکند $ \Rightarrow \tan x > 0 $
- ربع چهارم ($ \frac{3\pi}{2} \lt x \lt 2\pi $): امتداد شعاع محور تانژانت را در پایین قطع میکند $ \Rightarrow \tan x < 0 $
کاربرد عملی: حل معادلات مثلثاتی با کمک محور تانژانت
فرض کنید میخواهیم معادلهٔ $ \tan x = 2 $ را در بازهٔ $ [0, 2\pi) $ حل کنیم. روی محور تانژانت، نقطهٔ $ T = (1, 2) $ را مشخص میکنیم. سپس خطی از مبدأ به نقطهٔ $ T $ رسم میکنیم. این خط دایرهٔ مثلثاتی را در دو نقطه قطع میکند که زوایای مورد نظر را نشان میدهند. با ماشین حساب معکوس، $ x \approx 63.43^\circ $ و $ x \approx 243.43^\circ $ (ربع سوم) به دست میآید.
چالشهای مفهومی
پاسخ: زیرا تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس حاصل میشود. برای درک هندسی این نسبت، نیاز به یک محور عمودی داریم که در نقطهٔ $ (1,0) $ (نقطهٔ حداکثر کسینوس) قرار گیرد. اگر محور تانژانت را بر محور سینوسها عمود میگرفتیم، آنگاه محور افقی در نقطهٔ $ (0,1) $ به دست میآمد که برای نمایش نسبت $ \frac{\sin x}{\cos x} $ مناسب نیست.
پاسخ: در نمودار تابع تانژانت، در نقاطی که $ \cos x = 0 $ (مثل $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $) خطوط مجانب قائم داریم. این نقاط دقیقاً متناظر با زوایایی هستند که امتداد شعاع بر محور تانژانت عمود میشود و آن را قطع نمیکند. بنابراین محور تانژانت از نظر هندسی مبنای تعیین مجانبهای تابع تانژانت است.
پاسخ: بله، زیرا دایرهٔ مثلثاتی دورهتناوبی $ 2\pi $ دارد. زاویهٔ $ x $ و $ x + 2\pi $ به یک نقطه روی دایره اشاره میکنند، بنابراین امتداد شعاع یکسان و مقدار تانژانت نیز برابر خواهد بود. محور تانژانت برای همهٔ زوایا به یک شکل عمل میکند.
پاورقی
1 دایرهٔ مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع واحد که مرکز آن در مبدأ مختصات است و برای تعریف توابع مثلثاتی بر حسب زاویه استفاده میشود.
2 محور کسینوسها (Cosine Axis): همان محور $ x $ در صفحهٔ مختصات که طول نقاط روی آن برابر با کسینوس زاویه است.
3 محور سینوسها (Sine Axis): همان محور $ y $ در صفحهٔ مختصات که طول نقاط روی آن برابر با سینوس زاویه است.
4 تانژانت (Tangent): نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور در مثلث قائمالزاویه یا همان $ \frac{\sin x}{\cos x} $ در دایرهٔ مثلثاتی.
5 مجانب قائم (Vertical Asymptote): خط عمودی که نمودار تابع به آن نزدیک میشود ولی هرگز آن را قطع نمیکند؛ در تابع تانژانت در نقاط $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ رخ میدهد.
