ارتفاع متوازیالسطوح نسبت به قاعدهٔ b و c: تصویر قائم بردار a بر امتداد b×c
1. تعریف متوازیالسطوح و قاعدهٔ b و c
متوازیالسطوح شکلی سهبعدی است که توسط سه بردار غیرهمصفحه (غیرهمراستا و واقع در سه جهت متفاوت) ساخته میشود. فرض کنید این سه بردار به ترتیب a، b و c هستند که از یک نقطهٔ مشترک شروع میشوند. قاعدهٔ مورد نظر در این مقاله، متوازیالاضلاعی است که بردارهای b و c آن را میسازند. ارتفاع این متوازیالسطوح، فاصلهٔ عمودی رأس مقابل قاعده تا سطح قاعده است. در حالت کلی، ارتفاع لزوماً با هیچ یک از یالها (بردارها) منطبق نیست، مگر اینکه بردار a بر قاعده عمود باشد.
2. ضرب خارجی و نقش آن در تعیین راستای عمود
ضرب خارجی دو بردار b و c که با نماد $ b \times c $ نشان داده میشود، بردار جدیدی است که عمود بر هر دو بردار b و c میباشد. جهت این بردار از قانون دست راست پیروی میکند و اندازهٔ آن برابر با مساحت متوازیالاضلاع ساخته شده توسط b و c است. بنابراین، بردار b×c عمود بر قاعدهٔ مورد نظر ماست. به همین دلیل، بردار b×c امتدادِ خط قائم (عمود) بر قاعده b و c را مشخص میکند.
| عملیات | نتیجه | تعیین عمود بودن | کاربرد در ارتفاع |
|---|---|---|---|
| ضرب داخلی ($ b \cdot c $) | عددی (نردهای) | تشخیص قائم بودن بردارها | خیر |
| ضرب خارجی ($ b \times c $) | برداری | ساخت بردار عمود بر دو بردار | تعیین جهت ارتفاع |
3. ارتباط ارتفاع با تصویر بردار a بر امتداد b×c
ارتفاع متوازیالسطوح نسبت به قاعدهٔ b و c، اندازهٔ مؤلفهٔ بردار a در راستای عمود بر قاعده است. میدانیم که بردار یکهٔ عمود بر قاعده، از تقسیم b×c بر اندازهٔ آن به دست میآید:
$ \hat{n} = \frac{b \times c}{|b \times c|} $تصویر قائم بردار a بر این امتداد (یعنی طول تصویر عمودی آن روی خط قائم) برابر است با ضرب داخلی بردار a در بردار یکهٔ n̂:
$ \text{ارتفاع} = | \text{proj}_{\hat{n}} a | = |a \cdot \hat{n}| = \left| a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|} \right| $بنابراین ارتفاع، مقدار مطلق ضرب داخلی بردار a در بردار یکهٔ عمود بر قاعده است. از آنجایی که $ |b \times c| $ همان مساحت قاعده است، این رابطه به فرمول حجم منجر میشود:
$ V = (\text{مساحت قاعده}) \times (\text{ارتفاع}) = |b \times c| \times \left| a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|} \right| = |a \cdot (b \times c)| $4. مثال عددی گامبهگام
فرض کنید سه بردار زیر را داریم (مختصات در دستگاه دکارتی):
$ a = (2, 0, 0), \quad b = (1, 1, 0), \quad c = (0, 1, 1) $قاعده از بردارهای b و c ساخته میشود.
- گام ۱ – محاسبهٔ ضرب خارجی $ b \times c $:
$ b \times c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 0\cdot1)i - (1\cdot1 - 0\cdot0)j + (1\cdot1 - 1\cdot0)k = (1, -1, 1) $ - گام ۲ – اندازهٔ ضرب خارجی (مساحت قاعده):
$ |b \times c| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} $ - گام ۳ – تصویر قائم بردار a بر امتداد $ b \times c $ (ارتفاع):
ابتدا بردار یکه: $ \hat{n} = \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{3}} $
سپس تصویر: $ \text{ارتفاع} = |a \cdot \hat{n}| = \left| (2,0,0) \cdot \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{3}} \right| = \frac{|2\cdot1 + 0 + 0|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $ - گام ۴ – محاسبهٔ حجم برای تأیید:
$ V = |a \cdot (b \times c)| = |(2,0,0) \cdot (1,-1,1)| = |2| = 2 $
مساحت قاعده $ = \sqrt{3} $، پس ارتفاع $ = \frac{2}{\sqrt{3}} $ که با مقدار بالا هماهنگ است.
5. کاربرد عملی: محاسبهٔ حجم و گشتاور در فیزیک
در فیزیک دبیرستان، گشتاور یک نیرو نسبت به یک نقطه به صورت ضرب خارجی بردار مکان و نیرو تعریف میشود. اگر بخواهیم گشتاور در جهت خاصی را محاسبه کنیم، از تصویر بردار گشتاور بر آن جهت استفاده میکنیم. همچنین در مبحث شار مغناطیسی، شار عبوری از یک سطح با ضرب داخلی میدان مغناطیسی در بردار مساحت (که اندازهٔ آن مساحت و جهت آن عمود بر سطح است) به دست میآید. در تمام این موارد، درک این نکته که «تصویر قائم یک بردار بر امتداد عمود بر سطح» چه نقشی دارد، ضروری است. مثلاً ارتفاع یک جعبهٔ کج در انبارداری، همان فاصلهٔ مؤثر برای چیدن جعبهها روی هم است، نه طول دیوارهٔ جانبی.
6. چالشهای مفهومی
پرسش ۱: اگر بردار a بر قاعده عمود باشد، چه تغییری در فرمول ارتفاع ایجاد میشود؟
پاسخ: در این حالت بردار a با b×c همراستا است. بنابراین تصویر قائم آن بر امتداد b×c برابر با خود اندازهٔ a میشود. یعنی ارتفاع همان طول بردار a است، که با حالت کلی (که ارتفاع از a کوچکتر است) تفاوت دارد.
پرسش ۲: چرا از قدر مطلق در فرمول ارتفاع استفاده میکنیم؟
پاسخ: ارتفاع یک کمیت مثبت است. ضرب داخلی a در n̂ ممکن است منفی شود (اگر زاویهٔ بین a و امتداد عمود بیشتر از ۹۰ درجه باشد)، قدر مطلق اطمینان میدهد که ارتفاع همواره نامنفی و به عنوان فاصله در نظر گرفته شود.
پرسش ۳: آیا میتوان قاعده را با جفت بردارهای دیگر (مثلاً a و b) انتخاب کرد و ارتفاع را مشابه یافت؟
بله، ارتفاع نسبت به هر قاعدهای برابر با تصویر قائم بردار سوم بر امتداد عمود بر آن قاعده است. فرمول حجم هم به خواص ضرب ترکیبی، نسبت به جابجایی چرخشی بردارها نامتغیر میماند.
پاورقی
1 بردار (Vector): کمیتی فیزیکی یا هندسی که دارای اندازه و جهت است و با پارهخط جهتدار نمایش داده میشود.
2 ضرب خارجی (Cross Product): عمل دودویی بین دو بردار در فضای سهبعدی که بردار عمود بر هر دوی آنها را حاصل میدهد.
3 ضرب ترکیبی (Scalar Triple Product): حاصل ضرب داخلی یک بردار در ضرب خارجی دو بردار دیگر که حجم متوازیالسطوح را میدهد.
4 بردار یکه (Unit Vector): برداری با اندازهٔ یک که جهت یک امتداد را نشان میدهد.
