فرمول ترکیب: کلید گشایش قفل انتخابهای ناآشنا
از فاکتوریل تا فرمول اصلی ترکیب
پیش از آنکه به سراغ فرمول ترکیب برویم، باید با مفهوم فاکتوریل2 آشنا شویم. فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند $n$ که با نماد $n!$ نمایش داده میشود، حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از $1$ تا $n$ است. به عبارت دیگر:
برای مثال، $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. همچنین یک قرارداد مهم داریم: $0! = 1$. حالا میخواهیم بدانیم اگر از میان $n$ کتاب مختلف، بخواهیم $r$ کتاب را انتخاب کنیم (بدون آنکه ترتیب انتخاب برایمان مهم باشد)، چند راه مختلف داریم؟ اینجا بود که ریاضیدانان فرمول زیر را کشف کردند:
این فرمول که با نماد $\binom{n}{r}$ یا $C(n,r)$ نشان داده میشود، پاسخ مسئلهٔ ما است. به آن «ترکیب $r$ از $n$» میگویند. دلیل وجود فاکتوریل $r!$ در مخرج این است که ترتیبهای مختلف انتخابها را حذف کنیم، زیرا در ترکیب، جابهجایی اعضا تغییری در گروه نهایی ایجاد نمیکند.
گام به گام با فرمول: مثالهای ملموس و روزمره
فرض کنید میخواهیم از میان $5$ دوست خود، یک تیم $2$ نفره برای یک بازی تشکیل دهیم. تعداد حالات ممکن با استفاده از فرمول ترکیب محاسبه میشود:
یعنی میتوانیم $10$ تیم $2$ نفرهٔ مختلف از بین $5$ دوست خود تشکیل دهیم. برای درک بهتر، تصور کنید نام دوستان علی، بهرام، پریا، سارا و نادر است. یکی از این $10$ حالت، تیم (علی و بهرام) است. توجه کنید که تیم (بهرام و علی) با تیم قبلی تفاوتی ندارد، چون ترتیب اعضا در تیم مهم نیست.
حالا یک مثال دیگر: میخواهیم از بین $6$ نوع میوه (سیب، پرتقال، موز، انگور، انار، خرمالو) یک سبد $3$ میوهای برای مادر بزرگ ببریم. تعداد سبدهای مختلفی که میتوانیم درست کنیم برابر است با:
پس میتوانیم $20$ سبد میوهٔ متفاوت برای مادر بزرگ ببریم.
کاربرد عملی: از مسابقات ورزشی تا احتمال در پوکر
فرمول ترکیب تنها یک رابطهٔ ریاضی خشک و خالی نیست، بلکه ابزاری قدرتمند در دنیای واقعی است. در ادامه دو کاربرد جذاب آن را بررسی میکنیم.
انتخاب اعضای تیم پروژه: فرض کنید در یک شرکت $10$ نفر متقاضی کار روی یک پروژهٔ ویژه هستند. مدیر میخواهد یک تیم $4$ نفره از میان آنها انتخاب کند. تعداد تیمهای ممکن برابر است با $\binom{10}{4} = 210$ تیم مختلف. این یعنی مدیر با $210$ انتخاب متفاوت روبرو است.
شمارش دستهای پوکر: در بازی پوکر، به هر بازیکن $5$ کارت از یک دست $52$ کارتی داده میشود. تعداد کل دستهای $5$ کارتی ممکن (بدون توجه به ترتیب کارتها در دست) یک عدد بسیار بزرگ است که با ترکیب محاسبه میشود:
یعنی بیش از $2.5$ میلیون دست مختلف! به کمک همین فرمول است که میتوانیم احتمال به دست آوردن دستهای خاص مانند «خال»3 را محاسبه کنیم.
جدول مقایسه: ترکیب در مقابل جایگشت
یکی از نقاطی که دانشآموزان را دچار سردرگمی میکند، تفاوت میان ترکیب و جایگشت4 است. در جدول زیر این دو مفهوم به وضوح مقایسه شدهاند:
| مفهوم | فرمول | ترتیب اهمیت دارد؟ | مثال (انتخاب ۲ نفر از ۳ نفر) |
|---|---|---|---|
| ترکیب (Combination) | $\binom{n}{r}$ | خیر | {علی، رضا} با {رضا، علی} یکی است. (۳ حالت) |
| جایگشت (Permutation) | $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ | بلی | {علی، رضا} با {رضا، علی} دو حالت متفاوت است. (۶ حالت) |
چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
⁉️ چرا در فرمول ترکیب بر $r!$ تقسیم میکنیم؟
اگر بخواهیم $r$ شیء را از $n$ شیء انتخاب کنیم و ترتیب مهم باشد، تعداد حالات برابر $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ است. اما در ترکیب، ترتیب مهم نیست. هر گروه $r$تایی را میتوان به $r!$ طریق مختلف مرتب کرد. برای حذف این ترتیبها، تعداد کل حالتها (حالتهای باحضور ترتیب) را بر $r!$ تقسیم میکنیم. به همین دلیل است که فرمول ترکیب، حاصلتقسیم جایگشت بر $r!$ است.
⁉️ اگر $r \gt n$ باشد، مقدار $\binom{n}{r}$ چقدر است؟
بر اساس تعریف، ترکیب $\binom{n}{r}$ فقط برای $0 \le r \le n$ معنا دارد. اگر $r$ از $n$ بزرگتر باشد، نمیتوانیم تعداد بیشتری شیء از تعداد کل اشیاء انتخاب کنیم. در چنین حالتی، مقدار $\binom{n}{r} = 0$ در نظر گرفته میشود.
⁉️ چرا $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ است؟
این یک ویژگی متقارن مهم در ترکیب است. انتخاب $r$ شیء از $n$ شیء دقیقاً معادل است با انتخاب $n-r$ شیء و کنار گذاشتن آنها. به عبارت دیگر، هر بار که $r$ شیء را برمیداریم، در واقع $n-r$ شیء را باقی میگذاریم. تعداد راههای برداشتن $r$ شیء با تعداد راههای باقی گذاشتن $n-r$ شیء برابر است. این تساوی را میتوان با جایگذاری در فرمول نیز اثبات کرد: $\binom{n}{n-r} = \frac{n!}{(n-(n-r))! (n-r)!} = \frac{n!}{r! (n-r)!} = \binom{n}{r}$.
در یک نگاه: فرمول ترکیب $\binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! r!}$ یک ابزار پایهای و قدرتمند در شمارش است. این فرمول به ما میگوید که برای انتخاب $r$ عضو از یک مجموعهٔ $n$ عضوی، بدون توجه به ترتیب، دقیقاً به همین تعداد راه وجود دارد. از تشکیل تیمهای ورزشی تا محاسبات پیچیدهٔ احتمالات، ردپای این فرمول دیده میشود. درک این مفهوم، پایهٔ فهم بسیاری از مباحث آمار و احتمال را تشکیل میدهد.
پاورقیها
1فاکتوریل (Factorial): حاصلضرب تمام اعداد صحیح مثبت از 1 تا یک عدد معین. به عنوان مثال، $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
2ترکیب (Combination): انتخاب تعدادی از اعضای یک مجموعه بهگونهای که ترتیب انتخاب مهم نباشد. فرمول آن $\binom{n}{r}$ است.
3خال (Flush): در بازی پوکر، دستی که شامل پنج کارت از یک خال (یک نشان) باشد، مانند پنج کارت پیک.
4جایگشت (Permutation): مرتب کردن تعدادی از اعضای یک مجموعه به ترتیب معین. در جایگشت، ترتیب قرارگیری عناصر اهمیت دارد. فرمول آن $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ است.
