جایگشت: نظم دادن به اشیا
جایگشت چیست؟ تعریف بنیادین
فرض کنید n شیء کاملاً متمایز داریم. به عنوان مثال، ۳ کتاب با عنوانهای مختلف. میخواهیم بدانیم این ۳ کتاب را به چند ترتیب متفاوت میتوانیم در یک قفسه بچینیم. به هر یک از این ترتیبها، یک جایگشت از این ۳ کتاب میگوییم. در ریاضیات، جایگشت به معنای هر ترتیب یا نظم خاصی از مجموعهای از اشیا است. نکته کلیدی در اینجا «متمایز بودن» اشیا و «اهمیت ترتیب» است. اگر اشیا یکسان باشند یا ترتیب مهم نباشد، با مفهوم دیگری به نام ترکیب (Combination) سر و کار داریم.
فرمول شمارش: از ضرب تا فاکتوریل
برای شمارش تعداد جایگشتهای n شیء متمایز، از یک قانون ساده پیروی میکنیم: برای اولین مکان، n انتخاب داریم. پس از قرار دادن اولین شیء، برای مکان دوم n-1 انتخاب باقی میماند. به همین ترتیب، این روند ادامه مییابد تا به آخرین مکان برسیم که فقط ۱ انتخاب برای آن وجود دارد. بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برابر است با:
$n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$این حاصلضرب را با نماد $n!$ نمایش میدهیم و آن را فاکتوریلn مینامیم1. به عنوان مثال، تعداد جایگشتهای ۳ کتاب، $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ است.
کاربرد عملی: از مسابقه تا رمز عبور
مثال اول: سکوهای قهرمانی در یک مسابقه دوومیدانی با ۸ شرکتکننده، به چند حالت مختلف میتوان نفرات اول، دوم و سوم را مشخص کرد؟ در اینجا ما با ۸ فرد متمایز روبروییم و میخواهیم ۳ نفر از آنها را با در نظر گرفتن ترتیب (اول، دوم، سوم) انتخاب کنیم. تعداد حالتها برابر است با: $8 \times 7 \times 6 = 336$. به این حالت جایگشت r شیء از n شیء متمایز نیز میگویند که با نماد $P(n, r)$ نمایش داده میشود2.
مثال دوم: رمز عبور فرض کنید میخواهید یک رمز ۴ رقمی با ارقام ۰ تا ۹ بسازید، به شرطی که هیچ رقمی تکراری نباشد. برای رقم اول ۱۰ انتخاب، برای رقم دوم ۹ انتخاب و ... داریم. تعداد کل رمزهای ممکن: $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$. این هم یک جایگشت است.
جدول مقایسه: جایگشت در برابر ترکیب
| مفهوم | آیا ترتیب مهم است؟ | فرمول (انتخاب r از n) | مثال |
|---|---|---|---|
| جایگشت | بله | $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ | انتخاب سه نفر اول از ۸ دونده |
| ترکیب | خیر | $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ | انتخاب ۳ نماینده از ۸ نفر (بدون اولویت) |
چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: زیرا برای انتخاب شیء اول n انتخاب داریم. پس از آن، برای انتخاب شیء دوم n-1 انتخاب، و الی آخر. طبق اصل ضرب، تعداد کل حالتها حاصلضرب این اعداد است. این حاصلضرب همان $n!$ است.
✅ پاسخ: در حالت اول، همه n شیء را مرتب میکنیم. اما در حالت دوم، فقط r شیء از n شیء را انتخاب کرده و سپس مرتب میکنیم. فرمول حالت دوم $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ است. اگر $r=n$ باشد، $(n-r)! = 0! = 1$ و فرمول به $n!$ تبدیل میشود.
✅ پاسخ: در چینش دورانی، چرخش کل مجموعه، یک حالت جدید محسوب نمیشود. برای n نفر، تعداد چینشهای دورانی برابر $(n-1)!$ است. زیرا با ثابت نگه داشتن یک نفر به عنوان مرجع، بقیه n-1 نفر را به $(n-1)!$ حالت میتوانیم بچینیم.
پاورقیها
1فاکتوریل (Factorial): حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از ۱ تا n در ریاضیات. نماد آن "!" است. برای اعداد غیرصحیح و منفی تعریف نمیشود، مگر در حالت قراردادی $0! = 1$.
2جایگشت (Permutation): به هر ترتیب خاصی از اعضای یک مجموعه گفته میشود. در جایگشت، برخلاف ترکیب، ترتیب قرارگیری عناصر اهمیت دارد.
3جایگشت دورانی (Circular Permutation): نوعی جایگشت که در آن اشیا روی یک دایره چیده میشوند و چرخشهای دایره، جایگشتهای یکسان در نظر گرفته میشوند.
