قدر مطلق: فاصله از صفر در قلب اعداد حقیقی
۱. تعریف و تفسیر هندسی قدر مطلق
قدر مطلق یک عدد حقیقی، که با نماد $|x|$ نمایش داده میشود، در سادهترین تعریف، فاصلهٔ آن عدد از نقطهٔ صفر روی محور اعداد حقیقی است. از آنجایی که فاصله همواره مقداری نامنفی1 است، قدر مطلق هر عدد نیز همیشه بزرگتر یا مساوی صفر خواهد بود. این تفسیر هندسی به ما کمک میکند تا مفاهیم پیچیدهتر را به شهودی ساده تبدیل کنیم. برای مثال، عبارت $|x|=3$ به معنای یافتن اعدادی است که فاصلهٔ آنها از صفر دقیقاً برابر $3$ واحد باشد؛ یعنی $x=3$ یا $x=-3$.
تعریف جبری قدر مطلق به صورت زیر بیان میشود که حالتهای مختلف یک عدد (مثبت، منفی یا صفر) را پوشش میدهد:
به عبارت دیگر، اگر عدد مثبت یا صفر باشد، قدر مطلق خود آن عدد است و اگر عدد منفی باشد، قدر مطلق قرینهٔ آن (عدد مثبت) خواهد بود. برای نمونه:
- $|5| = 5$ (چون $5 \ge 0$)
- $|-7| = -(-7) = 7$ (چون $-7 \lt 0$)
- $|0| = 0$
۲. خواص بنیادین قدر مطلق
قدر مطلق دارای خواص جبری مهمی است که در حل مسائل و معادلات بسیار کاربردی هستند. این خواص همگی از تعریف فاصله نتیجه میشوند.
- خاصیت نامنفی بودن:$|x| \ge 0$ و $|x| = 0$ اگر و تنها اگر $x = 0$.
- خاصیت ضربی:$|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$. برای مثال، $|-2 \times 3| = |-6| = 6$ و $|-2| \times |3| = 2 \times 3 = 6$.
- خاصیت مربع:$|x|^2 = x^2$. این خاصیت نشان میدهد که قدر مطلق و مربع یک عدد، هر دو علامت را حذف میکنند.
- نامساوی مثلثی:$|x + y| \le |x| + |y|$. این نامساوی بیان میکند که طول یک ضلع مثلث هرگز از مجموع طول دو ضلع دیگر بیشتر نیست.
برای درک بهتر نامساوی مثلثی، فرض کنید $x = 5$ و $y = -2$. سمت چپ نامساوی: $|5 + (-2)| = |3| = 3$. سمت راست: $|5| + |-2| = 5 + 2 = 7$. میبینیم که $3 \le 7$ برقرار است.
۳. حل معادلات قدر مطلقی
حل معادلات قدر مطلقی به معنای یافتن مقادیری از متغیر است که عبارت قدرمطلقی را در یک تساوی برقرار کنند. استراتژی اصلی حذف قدر مطلق با در نظر گرفتن دو حالت است. معادلهٔ $|x| = a$ با فرض $a \ge 0$ دو جواب دارد: $x = a$ و $x = -a$. اگر $a \lt 0$ باشد، معادله هیچ جوابی ندارد، زیرا قدر مطلق نمیتواند منفی شود.
برای معادلات پیچیدهتر مانند $|ax + b| = c$ نیز همین منطق را به کار میبریم:
مثال: معادله $|2x - 1| = 5$ را حل کنید.
حل: دو حالت داریم:
حالت اول: $2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
حالت دوم: $2x - 1 = -5 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$
بنابراین مجموعه جواب $\{-2, 3\}$ است.
| نوع معادله | شرط | روش حل | مثال |
|---|---|---|---|
| $|x|=a$ | $a \ge 0$ | $x = \pm a$ | $|x|=4 \Rightarrow x=\pm 4$ |
| $|ax+b|=c$ | $c \ge 0$ | $ax+b = c$ یا $ax+b = -c$ | $|x-2|=3 \Rightarrow x=5,-1$ |
| $|x|=a$ | $a \lt 0$ | بدون جواب | $|x|=-2$ جواب ندارد |
۴. نامعادلات قدر مطلقی و کاربرد عملی
نامعادلات قدر مطلقی معمولاً بازههایی از اعداد را توصیف میکنند. برای مثال، نامعادله $|x| \lt a$ (با $a \gt 0$) به معنای فاصلهٔ کمتر از $a$ واحد از صفر است، یعنی $-a \lt x \lt a$. از طرف دیگر، $|x| \gt a$ بیانگر فاصلهٔ بیشتر از $a$ واحد از صفر است، یعنی $x \lt -a$ یا $x \gt a$.
کاربرد عملی در کنترل کیفیت: فرض کنید یک کارخانه، قطعاتی با طول استاندارد $10$ سانتیمتر تولید میکند. اگر تلورانس2 خطا $0.1$ میلیمتر باشد، طول قطعات قابل قبول در بازهٔ $|x - 10| \le 0.01$ سانتیمتر قرار میگیرد. با حل این نامعادله داریم: $9.99 \le x \le 10.01$. هر قطعهای که طولش خارج از این بازه باشد، رد میشود. این یک مثال عینی از کاربرد قدر مطلق در دنیای واقعی است.
۵. چالشهای مفهومی
پاورقی
1نامنفی (Non-negative): مقداری که بزرگتر یا مساوی صفر باشد.
2تلورانس (Tolerance): میزان مجاز انحراف از یک مقدار استاندارد یا مبنا.
