نمودار مختصاتی: نمایش تابع با نقطههای متناظر زوجهای مرتب
۱. از زوجهای مرتب تا نقطههای روی کاغذ
هر تابع را میتوان به عنوان مجموعهای از زوجهای مرتب (x, y) در نظر گرفت که در آن، هر x منحصربهفرد یک y متناظر دارد . حال برای اینکه این ارتباط را به زبان تصویر تبدیل کنیم، از دستگاه مختصات دکارتی[3] استفاده میکنیم. این دستگاه از دو محور عمود بر هم تشکیل شده است: محور افقی که به آن محور xها (طول) و محور عمودی که به آن محور yها (عرض) میگویند. محل برخورد این دو محور، مبدأ مختصات نام دارد و با نقطهٔ (0,0) نشان داده میشود. برای نمایش یک زوج مرتب مانند (a, b) در این صفحه، کافی است به اندازه a واحد روی محور افقی (به سمت راست اگر a مثبت باشد و به چپ اگر منفی باشد) و به اندازه b واحد روی محور عمودی (به سمت بالا اگر b مثبت باشد و به پایین اگر منفی باشد) حرکت کنیم. نقطهٔ حاصل، نمایش هندسی آن زوج مرتب است.۲. گامهای عملی رسم نمودار یک تابع
برای رسم نمودار یک تابع، بهویژه وقتی با توابع پیوسته[4] مانند چندجملهایها سروکار داریم، میتوانیم از روش نقطهیابی استفاده کنیم. این روش شامل مراحل زیر است : 1. **تشکیل جدول مقادیر:** چند مقدار دلخواه و مناسب برای x از دامنهٔ تابع انتخاب میکنیم. 2. **محاسبه مقادیر y متناظر:** هر مقدار x را در ضابطهٔ تابع قرار داده و f(x) را بهدست میآوریم. 3. **مختصات نقاط:** هر جفت (x, f(x)) یک نقطه روی صفحه خواهد بود. 4. **وصل کردن نقاط:** نقاط بهدستآمده را بهترتیب و با یک منحنی صاف به هم وصل میکنیم. هرچه نقاط بیشتر و نزدیکتر به هم باشند، نمودار دقیقتری حاصل میشود.| مقدار x (ورودی) | ضابطه f(x)=x²+1 | نقطه متناظر (x, y) |
|---|---|---|
| -2 | (-2)²+1 = 4+1 = 5 | (-2, 5) |
| -1 | (-1)²+1 = 1+1 = 2 | (-1, 2) |
| 0 | (0)²+1 = 0+1 = 1 | (0, 1) |
| 1 | (1)²+1 = 1+1 = 2 | (1, 2) |
| 2 | (2)²+1 = 4+1 = 5 | (2, 5) |
۳. چگونه از روی نمودار، تابع بودن را تشخیص دهیم؟
همهٔ نمودارهایی که در صفحه مختصات میبینیم، نمایش یک تابع نیستند. یک قانون ساده و کاربردی به نام آزمون خط عمودی[5] وجود دارد که به ما کمک میکند تا تابع بودن یک نمودار را بررسی کنیم .آزمون خط عمودی: اگر بتوان یک خط عمودی (موازی محور yها) رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن نمودار نمایشدهنده یک تابع نیست. در غیر این صورت، اگر هر خط عمودی، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند، نمودار متعلق به یک تابع است.دلیل این امر به تعریف تابع برمیگردد: در یک تابع، به ازای هر ورودی (x)، تنها یک خروجی (y) وجود دارد. اگر یک خط عمودی (که معرف یک x ثابت است) نمودار را در دو نقطه قطع کند، یعنی آن x خاص، دو y متفاوت دارد و این با تعریف تابع سازگار نیست. برای درک بهتر، انواع نمودارها را از این نظر مقایسه میکنیم:
| نوع نمودار | نتیجه آزمون خط عمودی | آیا تابع است؟ |
|---|---|---|
| خط راست غیرعمودی (مانند y=2x+1) | هر خط عمودی، نمودار را دقیقاً در یک نقطه قطع میکند. | بله |
| سهمی (مانند y=x²) | هر خط عمودی، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع میکند. | بله |
| دایره (مانند x²+y²=4) | خطوط عمودی زیادی هستند که دایره را در دو نقطه قطع میکنند. | خیر |
| نمودار یک تابع چندضابطهای با یک نقطه توخالی | اگر نقطهٔ توخالی در نظر گرفته نشود، خط عمودی حداکثر یک برخورد دارد. | بله (با اغماض از نقاط مرزی) |
۴. استخراج دامنه و برد تابع از روی نمودار
یکی از کاربردهای مهم نمودار، تعیین سریع دامنه و برد تابع است . * **دامنه[1]:** مجموعه تمام xهایی است که برای آنها نقطه روی نمودار وجود دارد. برای پیدا کردن دامنه از روی نمودار، نمودار را روی محور xها تصویر (یا سایه) میاندازیم. بازهای از محور xها که زیر نمودار پوشانده میشود، دامنه تابع است. * **برد[2]:** مجموعه تمام yهایی است که از تابع دریافت میشود. برای پیدا کردن برد از روی نمودار، نمودار را روی محور yها تصویر میاندازیم. بازهای از محور yها که در مقابل نمودار پوشانده میشود، برد تابع است. بهعنوان مثال، برای تابع f(x)=x²+1 که در بخش قبل جدول آن را دیدیم: * از آنجایی که به ازای هر x حقیقی، یک y داریم، دامنه آن تمام اعداد حقیقی است: D_f = ℝ. * با نگاه به نمودار (یا مقادیر جدول) میبینیم که کمترین مقدار y برابر با 1 است و به سمت بالا تا بینهایت ادامه دارد. بنابراین برد آن است: R_f = [1, +∞).۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا نمودار یک دایره نمیتواند یک تابع باشد، در حالی که نیمدایره میتواند؟
پاسخ در آزمون خط عمودی نهفته است. یک خط عمودی که از مرکز دایره عبور کند، آن را در دو نقطه (بالا و پایین) قطع میکند. این یعنی یک x، دو y دارد. اما اگر فقط نیمدایره بالایی (یا پایینی) را در نظر بگیریم، هر خط عمودی حداکثر یک برخورد خواهد داشت و بنابراین میتواند یک تابع باشد.
❓ چالش ۲: آیا ممکن است یک نمودار، هم تابع زوج باشد و هم تابع فرد؟
پاسخ تنها یک تابع خاص میتواند همزمان زوج و فرد باشد و آن تابع ثابت f(x)=0 است. تابع زوج نسبت به محور yها متقارن است (f(-x)=f(x)) و تابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن است (f(-x)=-f(x)) . اگر هر دو شرط همزمان برقرار باشند، آنگاه f(x) = -f(x) و در نتیجه 2f(x)=0 و f(x)=0 خواهد بود.
❓ چالش ۳: اگر دامنه یک تابع مجموعه {1, 2, 3} باشد، نمودار آن چگونه خواهد بود؟ آیا میتوانیم نقاط را به هم وصل کنیم؟
پاسخ نمودار چنین تابعی تنها از سه نقطهٔ مجزا در صفحه مختصات تشکیل شده است. از آنجایی که تابع فقط برای این سه x تعریف شده، برای مقادیر دیگر x (مثلاً 1.5) نقطهای روی نمودار نداریم. بنابراین، وصل کردن این نقاط به یکدیگر اشتباه است، زیرا این کار به معنای وجود مقادیری برای xهای بین این اعداد است که در دامنه تابع وجود ندارند.
پاورقیها
[1] دامنه (Domain): به مجموعه تمام ورودیهای ممکن برای یک تابع گفته میشود که تابع برای آن مقادیر، تعریفشده و معنیدار است .
[2] برد (Range): مجموعه تمام خروجیهایی است که تابع با استفاده از ورودیهای دامنه خود تولید میکند. برد همواره زیرمجموعهای از همدامنه است .
[3] دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian Coordinate System): سیستمی برای تعیین دقیق مکان یک نقطه در صفحه با استفاده از دو عدد (مختصات) که فاصله آن نقطه را از دو محور عمود بر هم (محور x و محور y) نشان میدهد .
[4] تابع پیوسته (Continuous Function): تابعی که نمودار آن را میتوان بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد. در این توابع، تغییرات کوچک در ورودی، منجر به تغییرات کوچک در خروجی میشود.
[5] آزمون خط عمودی (Vertical Line Test): روشی گرافیکی برای تشخیص این است که آیا یک نمودار میتواند نمایشدهنده یک تابع باشد یا خیر .
