افراز: کلید مرتبسازی فضای نمونه در احتمال
با استفاده از اجتماع مجموعههای ناتهی و مجزا، فضای نمونه را به بخشهای منظمی تقسیم میکنیم.
در این مقاله با مفهوم افراز در فضای نمونه آشنا میشویم. افراز یعنی خانوادهای از زیرمجموعههای ناتهی از فضای نمونه که اجتماع آنها کل فضا را پوشش میدهد و اشتراک هر دوتای آنها تهی است. با مثالهای متنوع و جداول مقایسه، کاربرد آن را در محاسبات احتمال و زندگی روزمره بررسی خواهیم کرد.
۱. مبانی افراز: تعریف و ویژگیهای اصلی
برای درک مفهوم افراز، ابتدا باید با فضای نمونه آشنا باشیم. فضای نمونه مجموعه تمام حالتهای ممکن یک آزمایش تصادفی است. یک افراز، این فضا را به تکههای کوچکتر و مجزا تقسیم میکند. فرض کنید یک کیسه شامل 10 توپ رنگی داریم: 3 توپ قرمز، 4 توپ آبی و 3 توپ سبز. اگر بخواهیم این توپها را بر اساس رنگ دستهبندی کنیم، سه دستهٔ قرمز، آبی و سبز تشکیل میدهیم. این دستهها یک افراز از مجموعه توپها هستند زیرا:
- ناتهی بودن هر دسته حداقل یک عضو دارد.
- اجتماع کامل اگر همه دستهها را کنار هم بگذاریم، همهٔ 10 توپ را داریم.
- مجزا بودن هیچ توپی همزمان در دو دسته نیست (اشتراک تهی).
فرمول شرط افراز: اگر $ \{A_1, A_2, \dots, A_n\} $ یک افراز از فضای نمونه $ S $ باشد، آنگاه:
- $ A_i \neq \varnothing $ برای همهٔ $ i $ (ناتهی)
- $ A_i \cap A_j = \varnothing $ برای $ i \neq j $ (مجزا)
- $ \bigcup_{i=1}^{n} A_i = S $ (پوشش کامل)
۲. انواع افراز از ساده تا پیشرفته
افرازها میتوانند بر اساس تعداد اعضا و نحوه تقسیمبندی متفاوت باشند. یک افراز میتواند فقط دو عضو داشته باشد مانند تقسیم دانشآموزان یک کلاس به دو گروه «علاقهمند به ریاضی» و «غیرعلاقهمند». یا میتواند اعضای بیشتری داشته باشد مثل تقسیمبندی روزهای هفته به 7 زیرمجموعهٔ تکی. در حالت خاص، اگر هر عضو فضای نمونه را یک زیرمجموعهٔ مجزا در نظر بگیریم، به آن افراز تکی1 میگویند.
مثال: پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. فضای نمونه $ S = \{1,2,3,4,5,6\} $ است. چند نوع افراز میتوان تعریف کرد؟
مثال: پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. فضای نمونه $ S = \{1,2,3,4,5,6\} $ است. چند نوع افراز میتوان تعریف کرد؟
| نوع افراز | توضیح | اعضای افراز |
|---|---|---|
| تکی | هر زیرمجموعه دقیقاً یک عضو دارد. | $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}$ |
| زوج و فرد | تقسیم بر اساس زوج یا فرد بودن | $\{2,4,6\},\{1,3,5\}$ |
| بزرگتر از 3 | اعداد کمتر یا مساوی 3 و بزرگتر از 3 | $\{1,2,3\},\{4,5,6\}$ |
۳. کاربرد عملی افراز در قانون احتمال کل
مهمترین کاربرد افراز در آمار و احتمال، استفاده از آن در قانون احتمال کل2 است. این قانون میگوید اگر $ \{A_1, A_2, \dots, A_n\} $ یک افراز از فضای نمونه باشد، احتمال هر پیشامد دلخواه $ B $ برابر است با مجموع حاصلضرب احتمال هر عضو افراز در احتمال شرطی $ B $ نسبت به آن عضو.
مثال عینی: فرض کنید یک کارخانه دارای سه دستگاه تولیدکننده محصول است. دستگاه اول 30%، دستگاه دوم 50% و دستگاه سوم 20% از کل محصولات را تولید میکنند. نرخ معیوبسازی دستگاهها به ترتیب 2%، 3% و 4% است. اگر یک محصول به طور تصادفی انتخاب کنیم، احتمال معیوب بودن آن چقدر است؟ در اینجا دستگاهها یک افراز از فضای نمونه (همه محصولات) ایجاد میکنند.
مثال عینی: فرض کنید یک کارخانه دارای سه دستگاه تولیدکننده محصول است. دستگاه اول 30%، دستگاه دوم 50% و دستگاه سوم 20% از کل محصولات را تولید میکنند. نرخ معیوبسازی دستگاهها به ترتیب 2%، 3% و 4% است. اگر یک محصول به طور تصادفی انتخاب کنیم، احتمال معیوب بودن آن چقدر است؟ در اینجا دستگاهها یک افراز از فضای نمونه (همه محصولات) ایجاد میکنند.
فرمول قانون احتمال کل:
$ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_n)P(B|A_n) $
برای مثال کارخانه:
$ P(\text{معیوب}) = (0.3 \times 0.02) + (0.5 \times 0.03) + (0.2 \times 0.04) = 0.006 + 0.015 + 0.008 = 0.029 $
یعنی 2.9% احتمال معیوب بودن یک محصول.
۴. چالشهای مفهومی
❓ آیا مجموعه تهی میتواند عضوی از یک افراز باشد؟
خیر. طبق تعریف، همه اعضای یک افراز باید ناتهی باشند. اگر مجموعه تهی را به افراز اضافه کنیم، باز هم شرایط اجتماع و اشتراک برقرار است، اما اصل ناتهی بودن نقض میشود. مجموعه تهی هیچ اطلاعاتی به ما نمیدهد و در تقسیمبندی فضا نقشی ندارد.
خیر. طبق تعریف، همه اعضای یک افراز باید ناتهی باشند. اگر مجموعه تهی را به افراز اضافه کنیم، باز هم شرایط اجتماع و اشتراک برقرار است، اما اصل ناتهی بودن نقض میشود. مجموعه تهی هیچ اطلاعاتی به ما نمیدهد و در تقسیمبندی فضا نقشی ندارد.
❓ اگر یک زیرمجموعه از فضای نمونه را حذف کنیم، آیا باز هم میتوانیم یک افراز داشته باشیم؟
خیر، زیرا شرط اجتماع اعضا باید برابر با کل فضای نمونه باشد. اگر عضوی را حذف کنیم، دیگر اجتماع همه اعضا کل فضا را پوشش نمیدهد. مثلاً در پرتاب تاس، اگر مجموعه $\{1,2\}$ و $\{3,4\}$ را داشته باشیم، اعداد 5 و 6 پوشش داده نشدهاند.
خیر، زیرا شرط اجتماع اعضا باید برابر با کل فضای نمونه باشد. اگر عضوی را حذف کنیم، دیگر اجتماع همه اعضا کل فضا را پوشش نمیدهد. مثلاً در پرتاب تاس، اگر مجموعه $\{1,2\}$ و $\{3,4\}$ را داشته باشیم، اعداد 5 و 6 پوشش داده نشدهاند.
❓ آیا میتوان یک فضای نمونه را به دو صورت متفاوت افراز کرد؟
بله، هر فضای نمونه را میتوان به روشهای مختلفی افراز کرد. برای مثال فضای نمونه پرتاب یک سکه $ S=\{شیر، خط\} $ را میتوان به صورت تکی ($\{شیر\}$ و $\{خط\}$) یا اگر سکه دو بار پرتاب شود، افراز بر اساس تعداد شیرها ($0$ شیر، $1$ شیر، $2$ شیر) ممکن است.
بله، هر فضای نمونه را میتوان به روشهای مختلفی افراز کرد. برای مثال فضای نمونه پرتاب یک سکه $ S=\{شیر، خط\} $ را میتوان به صورت تکی ($\{شیر\}$ و $\{خط\}$) یا اگر سکه دو بار پرتاب شود، افراز بر اساس تعداد شیرها ($0$ شیر، $1$ شیر، $2$ شیر) ممکن است.
۵. مقایسه افراز با مفاهیم مشابه
گاهی افراز با مفاهیمی مانند پوشش یا افرایش اشتباه گرفته میشود. در جدول زیر تفاوتهای کلیدی را میبینید.
| مفهوم | ویژگی اصلی | اشتراک دو به دو | پوشش کل فضا |
|---|---|---|---|
| افراز | زیرمجموعههای مجزا | تهی | کامل |
| پوشش | مجاز به اشتراک هستند | میتواند ناتهی باشد | کامل |
| زیرمجموعه ساده | فقط یک زیرمجموعه | — | ناقص |
جمعبندی: افراز یک ابزار قدرتمند برای سازماندهی فضای نمونه است. با تقسیم فضا به زیرمجموعههای ناتهی، مجزا و کامل، میتوانیم مسائل پیچیده احتمال را به بخشهای سادهتر بشکنیم. قانون احتمال کل که بر پایه افراز بنا شده، به ما اجازه میدهد احتمال پیشامدها را با در نظر گرفتن شرایط مختلف محاسبه کنیم. از دستهبندی توپهای رنگی تا تحلیل کیفیت محصولات کارخانه، افراز در همه جا حضور دارد.
پاورقی
1 افراز تکی (Trivial Partition): افرازی که هر عضو آن یک زیرمجموعه تکعضوی از فضای نمونه است.
2 قانون احتمال کل (Law of Total Probability): روشی برای محاسبه احتمال یک پیشامد بر اساس افرازهای فضای نمونه.
2 قانون احتمال کل (Law of Total Probability): روشی برای محاسبه احتمال یک پیشامد بر اساس افرازهای فضای نمونه.