تفاضل دو پیشامد: مفاهیم، مثالها و کاربردها
تعریف و نمایش مجموعهای تفاضل
در نظریه مجموعهها و به تبع آن در علم احتمال، تفاضل دو پیشامد $A$ و $B$ که با نماد $A - B$ نمایش داده میشود، مجموعهای است شامل تمام عضوهایی که در $A$ هستند ولی در $B$ نیستند. به عبارت دیگر، این عملیات، اعضای مشترک بین دو پیشامد را از پیشامد اول حذف میکند. در برخی متون از نماد $A \setminus B$ نیز برای این منظور استفاده میشود. در چارچوب احتمال، یک پیشامد مجموعهای از پیامدهای ممکن در یک آزمایش تصادفی است؛ بنابراین تفاضل دو پیشامد نیز خود یک پیشامد جدید محسوب میشود.
برای درک بهتر، فضای نمونهای را در نظر بگیرید که در آن تمام پیامدهای ممکن یک آزمایش تصادفی گردآوری شدهاند. اگر پیشامد $A$ و پیشامد $B$ زیرمجموعههایی از این فضا باشند، آنگاه $A - B$ شامل آن دسته از عناصری از فضای نمونه است که در $A$ صدق میکنند اما در $B$ صدق نمیکنند. این عملیات با اشتراک $A$ و متمم $B$ نیز برابر است: $A - B = A \cap B^c$.
فرض کنید در یک کلاس درس، پیشامد $A$ به معنای «دانشآموزانی که عینک میزنند» و پیشامد $B$ به معنای «دانشآموزانی که موهای قهوهای دارند» باشد. در این صورت $A - B$ مجموعه دانشآموزانی خواهد بود که عینک میزنند اما موهایشان قهوهای نیست.
مثال عینی: پرتاب تاس و تفاضل پیشامدها
برای روشنتر شدن موضوع، یک مثال ملموس و علمی از پرتاب یک تاس سالم را بررسی میکنیم. در این آزمایش تصادفی، فضای نمونه شامل اعداد $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ است. دو پیشامد زیر را تعریف میکنیم:
- $A$: عدد رو شده زوج باشد $\Rightarrow \{2, 4, 6\}$.
- $B$: عدد رو شده بزرگتر از $3$ باشد $\Rightarrow \{4, 5, 6\}$.
حال میخواهیم $A - B$ را محاسبه کنیم. بدین منظور، از مجموعه $A$ آن دسته از اعضایی را که در $B$ نیز حضور دارند، حذف میکنیم. اعضای مشترک $A \cap B$ عبارتند از $\{4, 6\}$. با حذف این دو عدد از $A$، تنها عضو باقیمانده عدد $2$ است. بنابراین:
$A - B = \{2, 4, 6\} - \{4, 5, 6\} = \{2\}$
به همین ترتیب، اگر $B - A$ را حساب کنیم، از مجموعه $B$ اعضای مشترک با $A$ (یعنی $4$ و $6$) را حذف میکنیم و عدد $5$ باقی میماند: $B - A = \{5\}$. این مثال ساده به خوبی تفاوت این دو عملیات را نشان میدهد.
کاربرد عملی در محاسبه احتمال
پس از آشنایی با مفهوم مجموعهای تفاضل، نوبت به محاسبه احتمال آن میرسد. اگر همه پیامدهای فضای نمونه همشانس باشند، احتمال یک پیشامد برابر است با نسبت تعداد اعضای آن پیشامد به تعداد کل اعضای فضای نمونه. بنابراین برای محاسبه $P(A - B)$، کافی است تعداد اعضای $A - B$ را بشماریم و بر تعداد کل اعضای فضای نمونه تقسیم کنیم. در مثال تاس، فضای نمونه $6$ عضو دارد و $A-B$ تنها $1$ عضو دارد، بنابراین $P(A-B) = \frac{1}{6}$.
یک رابطه بسیار مهم و کاربردی دیگر که در محاسبات احتمال به کار میآید، ارتباط بین احتمال تفاضل و احتمال اشتراک است. همانطور که میدانیم، پیشامد $A$ را میتوان به دو بخش مجزا افراز کرد: بخشی که با $B$ مشترک است ($A \cap B$) و بخشی که در $B$ نیست ($A - B$). از آنجایی که این دو بخش ناسازگار هستند (اشتراکی با هم ندارند)، داریم:
$P(A) = P(A - B) + P(A \cap B)$
و در نتیجه:
$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$
این فرمول ابزار بسیار قدرتمندی است، زیرا محاسبه $P(A \cap B)$ اغلب سادهتر از شمارش مستقیم اعضای $A - B$ است. برای مثال بالا، $P(A) = \frac{3}{6}$ و $P(A \cap B) = \frac{2}{6}$، بنابراین $P(A-B) = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ که با نتیجه قبلی همخوانی دارد.
| عملیات | نماد ریاضی | شرح به زبان ساده | مثال (تاس) |
|---|---|---|---|
| تفاضل A و B | $A - B$ | اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند. | $\{2\}$ |
| تفاضل B و A | $B - A$ | اعضایی که در B هستند ولی در A نیستند. | $\{5\}$ |
| اشتراک A و B | $A \cap B$ | اعضایی که هم در A و هم در B هستند. | $\{4, 6\}$ |
| اجتماع A و B | $A \cup B$ | اعضایی که در A یا در B (یا هر دو) هستند. | $\{2, 4, 5, 6\}$ |
چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: پیشامدهای ناسازگار اشتراکی ندارند، یعنی $A \cap B = \varnothing$. در این حالت، مجموعه $A$ هیچ عضوی ندارد که در $B$ باشد، بنابراین هنگام محاسبه $A - B$، هیچ عضوی از $A$ حذف نمیشود و در نتیجه $A - B = A$ خواهد بود. برای مثال اگر $A=\{1,2\}$ و $B=\{3,4\}$ باشند، $A-B=\{1,2\}=A$.
✅ پاسخ: خیر، این یک اشتباه رایج است. طبق رابطهای که دیدیم، $P(A-B) = P(A) - P(A \cap B)$. عبارت $P(A)-P(B)$ تنها زمانی معنا دارد که $B \subseteq A$ باشد، زیرا در غیر این صورت احتمال منفی خواهد شد. حتی در حالت کلی، تفاضل احتمالات با احتمال تفاضل برابر نیست مگر در شرایط خاص. مثال تاس را در نظر بگیرید: $P(A)-P(B) = \frac{3}{6} - \frac{3}{6}=0$ اما $P(A-B)=\frac{1}{6}$.
✅ پاسخ: این دو دقیقاً معادل یکدیگر هستند. $B^c$ متمم $B$ است، یعنی مجموعه تمام حالتهایی که در $B$ نیستند. اشتراک $A$ با این مجموعه، دقیقاً همان اعضایی از $A$ را مشخص میکند که در $B$ نیستند. این نمایش به خصوص در اثبات قضایا و استفاده از قوانین جبر مجموعهها بسیار مفید است. به عنوان مثال، قانون دوگان دیمورگان با استفاده از این معادلسازی به راحتی اثبات میشود.
پاورقی
2 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام پیامدهای ممکن یک آزمایش تصادفی.
3 پیشامدهای ناسازگار (Mutually Exclusive Events): پیشامدهایی که نمیتوانند به طور همزمان رخ دهند، یعنی اشتراک آنها تهی است.
4 متمم یک پیشامد (Complement of an Event): مجموعه تمام حالتهای فضای نمونه که در آن پیشامد مشخص رخ نمیدهد.
