دامنه تابع: مجموعه مؤلفههای اول زوجهای مرتب
آشنایی با قانون طلایی توابع و تشخیص دامنه از روی زوجمرتبها، جدول و نمودار
اگر تا به حال با مفهوم تابع در ریاضیات روبرو شده باشید، احتمالاً نام «دامنه» به گوشتان خورده است. دراین مقاله، با زبانی ساده و مثالهای روشن یاد میگیریم که دامنه¹ دقیقاً چیست، چطور آن را از روی مجموعه زوجمرتبها تشخیص دهیم و شرط اساسی «تابع بودن» که به «قانون طلایی توابع» معروف است، چگونه از روی مؤلفههای اول بررسی میشود. همچنین با جدول و مثالهای علمی، این مفهوم را برای همیشه در ذهن خود تثبیت خواهیم کرد.
۱. تعریف دامنه و قانون طلایی توابع
تابع در ریاضیات، یک قانون یا رابطه است که به هر عنصر از یک مجموعه (که آن را دامنه مینامیم) دقیقاً یک عنصر از مجموعه دیگر (که آن را برد² میگوییم) نسبت میدهد. یکی از سادهترین راههای نمایش یک تابع، استفاده از زوجمرتبها است. هر زوجمرتب مانند $(x, y)$ از دو بخش تشکیل شده است:- مؤلفه اول($x$): همان ورودی تابع است که به آن متغیر مستقل نیز میگویند.
- مؤلفه دوم($y$): خروجی تابع است که با اعمال قانون تابع روی ورودی به دست میآید و به آن متغیر وابسته نیز گفته میشود.
«هیچ دو زوجمرتبی نمیتوانند مؤلفه اول یکسان و مؤلفه دوم متفاوت داشته باشند.»
این یعنی هر $x$ در دامنه باید به یک و فقط یک $y$ در برد وصل شود. اگر یک ورودی به دو خروجی متفاوت منجر شود، آن رابطه یک تابع نیست.
۲. تشخیص دامنه و تابع بودن از روی زوجمرتبها
برای اینکه تشخیص دهیم یک مجموعه از زوجمرتبها تابع است یا خیر و دامنه آن را پیدا کنیم، کافیست گامهای زیر را به ترتیب برداریم:- استخراج مؤلفههای اول: تمام اعداد $x$ را از زوجمرتبها یادداشت میکنیم. مجموعه این اعداد، همان دامنه است .
- بررسی شرط یکتایی: بررسی میکنیم که آیا مؤلفه اول تکراری با مؤلفه دوم متفاوت وجود دارد یا خیر .
| مجموعه زوجمرتبها | دامنه ($D_f$) | تابع؟ | توضیح |
|---|---|---|---|
| $\{(2,5),(3,7),(5,9)\}$ | $\{2,3,5\}$ | بله | همه مؤلفههای اول یکتا هستند. |
| $\{(1,4),(1,8),(2,3)\}$ | $\{1,2\}$ | خیر | مؤلفه اول $1$ به دو خروجی متفاوت $4$ و $8$ نگاشته شده است. |
| $\{(a,1),(b,1),(c,2)\}$ | $\{a,b,c\}$ | بله | تکرار در مؤلفه دوم ($1$) مجاز است. شرط فقط برای مؤلفه اول است. |
| $\{(0,0),(0,0)\}$ | $\{0\}$ | بله | تکرار یک زوجمرتب اشکالی ندارد، چون مؤلفه دوم برابر است . |
۳. مثال عینی: از کلاس درس تا دنیای واقعی
مثال آموزشی: فرض کنید در کلاس ریاضی، معلم از دانشآموزان میخواهد تا رابطه بین تعداد دقیقهای که برای مطالعه صرف کردهاند و نمرهای که کسب کردهاند را به صورت زوجمرتب بنویسند. نتایج به این صورت است: $\{(30,15),(45,18),(30,12),(60,20)\}$. اگر $x$ را تعداد دقیقه مطالعه و $y$ را نمره در نظر بگیریم، آیا این رابطه یک تابع است؟- دامنه: $\{30,45,60\}$
- بررسی قانون طلایی: دو زوجمرتب با مؤلفه اول $30$ داریم: یکی $(30,15)$ و دیگری $(30,12)$. یعنی یک ورودی ($30$ دقیقه) به دو خروجی متفاوت (نمرات $15$ و $12$) منجر شده است. بنابراین، این رابطه یک تابع نیست .
۴. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا ممکن است یک تابع، دو زوجمرتب با مؤلفههای دوم یکسان داشته باشد؟
✅ پاسخ: بله، کاملاً مجاز است. شرط تابع بودن تنها به مؤلفههای اول مربوط است، نه دوم. برای مثال، تابع $f=\{(2,4),(3,4),(5,4)\}$ یک تابع است، زیرا مؤلفههای اول ($2,3,5$) همگی یکتا هستند، حتی اگر مؤلفه دوم همهجا $4$ باشد .
✅ پاسخ: بله، کاملاً مجاز است. شرط تابع بودن تنها به مؤلفههای اول مربوط است، نه دوم. برای مثال، تابع $f=\{(2,4),(3,4),(5,4)\}$ یک تابع است، زیرا مؤلفههای اول ($2,3,5$) همگی یکتا هستند، حتی اگر مؤلفه دوم همهجا $4$ باشد .
❓ چالش ۲: اگر در یک مجموعه از زوجمرتبها، عضوی از مجموعه اول (مثلاً عدد $2$) هیچ خروجی نداشته باشد، آیا آن مجموعه میتواند تابع باشد؟
✅ پاسخ: بله، اگر مجموعه را مستقل و فقط شامل همان زوجمرتبها در نظر بگیریم. در این حالت، دامنه صرفاً مجموعه مؤلفههای اول موجود است. اما اگر تابعی را به صورت $f:A \to B$ تعریف کرده باشیم، آنگاه هر عضو مجموعه $A$ (که دامنه تعریف شده ماست) حتماً باید به یک عضو از $B$ متصل شود .
✅ پاسخ: بله، اگر مجموعه را مستقل و فقط شامل همان زوجمرتبها در نظر بگیریم. در این حالت، دامنه صرفاً مجموعه مؤلفههای اول موجود است. اما اگر تابعی را به صورت $f:A \to B$ تعریف کرده باشیم، آنگاه هر عضو مجموعه $A$ (که دامنه تعریف شده ماست) حتماً باید به یک عضو از $B$ متصل شود .
❓ چالش ۳: تفاوت «تابع یکبهیک» با «تابع» معمولی در چیست؟
✅ پاسخ: در یک تابع معمولی، شرط یکتایی فقط برای مؤلفههای اول الزامی است (هر $x$ یک $y$). اما در تابع یکبهیک³، یک شرط اضافه داریم: مؤلفههای دوم نیز باید یکتا باشند. یعنی هیچ دو زوجمرتبی نباید مؤلفه دوم یکسان داشته باشند. بنابراین هر تابع یکبهیک، حتماً تابع است، اما ممکن است تابعی یکبهیک نباشد .
✅ پاسخ: در یک تابع معمولی، شرط یکتایی فقط برای مؤلفههای اول الزامی است (هر $x$ یک $y$). اما در تابع یکبهیک³، یک شرط اضافه داریم: مؤلفههای دوم نیز باید یکتا باشند. یعنی هیچ دو زوجمرتبی نباید مؤلفه دوم یکسان داشته باشند. بنابراین هر تابع یکبهیک، حتماً تابع است، اما ممکن است تابعی یکبهیک نباشد .
نکته طلایی برای مرور: دامنه یعنی مجموعه $x$ها، قانونش هم این است: هر $x$ فقط یک $y$ میگیرد. با این دو خط ساده، میتوانید هر مجموعه زوجمرتب را تحلیل کنید. برای دیدن دامنه، کافی است به سادگی به اولین مؤلفهها نگاه کنیم. این قانون پایهای، سنگ بنای مفاهیم پیشرفتهتری مانند ترکیب توابع، توابع معکوس و پیوستگی است.
پاورقیها
1دامنه (Domain): مجموعه تمام ورودیهای مجاز برای یک تابع. در نمایش زوجمرتبی، مجموعه مؤلفههای اول است .
2برد (Range): مجموعه تمام خروجیهای یک تابع. در نمایش زوجمرتبی، مجموعه مؤلفههای دوم است .
3تابع یکبهیک (Injective Function): تابعی که در آن علاوه بر شرط تابع بودن، هر مؤلفه دوم نیز تنها به یک مؤلفه اول مختص شود .
2برد (Range): مجموعه تمام خروجیهای یک تابع. در نمایش زوجمرتبی، مجموعه مؤلفههای دوم است .
3تابع یکبهیک (Injective Function): تابعی که در آن علاوه بر شرط تابع بودن، هر مؤلفه دوم نیز تنها به یک مؤلفه اول مختص شود .