ضرب دکارتی: پلی از مجموعهها به زوجهای مرتب
تعریف و نمادگذاری ضرب دکارتی
ویژگیهای اصلی و ترتیب در زوجها
برای درک بهتر این موضوع، فرض کنید $A = \{\text{سیب}, \text{موز}\}$ و $B = \{\text{قرمز}, \text{زرد}\}$. در این صورت $A \times B$ شامل جفتهایی مثل (سیب، قرمز) و (سیب، زرد) است، در حالی که $B \times A$ شامل جفتهای (قرمز، سیب) و (زرد، موز) خواهد بود که هر یک معنای متفاوتی دارند.
| ویژگی | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| عدم جابجایی | ترتیب مجموعهها در ضرب دکارتی مهم است. | $\{1,2\} \times \{3,4\} \neq \{3,4\} \times \{1,2\}$ |
| تعداد اعضا | تعداد زوجها برابر حاصلضرب تعداد اعضای دو مجموعه است. | اگر |A|=3, |B|=4 آنگاه |A×B|=12 |
| شرط تساوی | اگر یکی از مجموعهها تهی باشد، حاصل ضرب تهی است. | $\{1,2\} \times \varnothing = \varnothing$ |
کاربردهای عملی در زندگی روزمره و علوم
فرض کنید قصد خرید یک گوشی موبایل دارید. مدلهای موجود $M = \{A, B, C\}$ و رنگهای موجود $R = \{\text{مشکی}, \text{سفید}, \text{آبی}\}$ هستند. ضرب دکارتی $M \times R$ به شما نشان میدهد که برای انتخاب، چند گزینه پیش رو دارید ($3 \times 3 = 9$ حالت).
ارتباط با دستگاه مختصات دکارتی
اگر مجموعه A را تمام نقاط روی محور افقی (اعداد حقیقی) و مجموعه B را تمام نقاط روی محور عمودی در نظر بگیریم، آنگاه ضرب دکارتی $A \times B$ همان صفحهٔ مختصات دکارتی خواهد بود. هر نقطه در این صفحه با یک زوج مرتب $(x, y)$ مشخص میشود که در آن x مختص افقی و y مختص عمودی نقطه است.
چالشهای مفهومی
آیا ضرب دکارتی خاصیت شرکتپذیری دارد؟ یعنی آیا $(A \times B) \times C$ با $A \times (B \times C)$ برابر است؟
خیر. دلیل این امر ساختار متفاوت زوجهای مرتب است. در $(A \times B) \times C$ اعضا به صورت $((a, b), c)$ هستند، در حالی که در $A \times (B \times C)$ اعضا به صورت $(a, (b, c))$ هستند. این دو ساختار متفاوت هستند، هرچند هر دو با مجموعه سهتاییهای مرتب $(a, b, c)$ در تناظر یکبهیک قرار دارند.
اگر یکی از مجموعهها بینهایت عضو داشته باشد، وضعیت ضرب دکارتی چگونه خواهد بود؟
ضرب دکارتی مجموعههای بینهایت نیز مجموعهای بینهایت خواهد بود. برای مثال، ضرب دکارتی اعداد طبیعی در خودشان ($\mathbb{N} \times \mathbb{N}$) مجموعهای شمارا و بینهایت از زوجهای مرتب است. این مجموعه مبنای اثباتهای مهمی در نظریهٔ مجموعهها و حسابان است.
چرا به جای $A \times B$ نمیگوییم $B \times A$؟ مگر هر دو شامل همه ترکیبات ممکن نیستند؟
خیر، این دو مجموعه از نظر محتوایی متفاوت هستند. در $A \times B$ عضو اول همیشه از A و عضو دوم از B انتخاب میشود. در $B \times A$ این ترتیب برعکس است. بنابراین اگر A و B یکسان نباشند، این دو مجموعه با هم برابر نخواهند بود.
تمرینهایی برای تثبیت یادگیری
۱. اگر $A = \{x, y\}$ و $B = \{1, 2, 3\}$ باشند، اعضای $A \times B$ و $B \times A$ را بنویسید و تعداد اعضای هر کدام را مقایسه کنید.
۲. با یک مثال روزمره نشان دهید که چگونه از ضرب دکارتی برای شمارش تعداد حالتهای ممکن در انتخاب یک وعده غذایی (پیشغذا و غذای اصلی) استفاده میکنید.
۳. ثابت کنید اگر A مجموعهای m عضوی و B مجموعهای n عضوی باشد، آنگاه $A \times B$ دارای $m \times n$ عضو است. (راهنمایی: از اصل شمارش استفاده کنید.)
پاورقی
2 زوج مرتب (Ordered Pair): دو شیء که ترتیب قرار گرفتن آنها اهمیت دارد و با $(a,b)$ نمایش داده میشود.
3 دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian Coordinate System): سیستمی برای تعیین موقعیت نقاط در صفحه با استفاده از دو محور عمود بر هم.
4 ترکیبیات (Combinatorics): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه روشهای شمارش، ترکیب و چیدمان اشیاء میپردازد.
5 رنه دکارت (René Descartes): فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم میلادی که بنیانگذار هندسه تحلیلی است.
