تبدیل نامعادلهٔ قدر مطلق به دو نامعادله: تحلیل جامع |u| ≥ a
۱. مفهوم قدر مطلق و تفسیر هندسی آن
قدر مطلق یک عدد حقیقی u که با نماد |u| نمایش داده میشود، در سادهترین تعریف، فاصلهٔ آن عدد از صفر روی محور اعداد است. به عبارت دیگر، قدر مطلق همیشه مقداری نامنفی دارد و نشاندهندهٔ بزرگی یک کمیت بدون در نظر گرفتن علامت آن است. برای مثال |5| = 5 و |-5| = 5. این مفهوم هندسی، کلید درک نامعادلات قدر مطلق است.
وقتی با نامعادلهای مانند |u| ≥ a (با a>0) مواجه میشویم، در حقیقت به دنبال نقاطی (مقادیری برای u) هستیم که فاصلهٔ آنها از مبدأ، از a بیشتر یا مساوی باشد. این نقاط شامل تمام اعدادی میشوند که در سمت چپ -a یا در سمت راست a روی محور اعداد قرار دارند. به همین دلیل است که جواب این نامعادله، اجتماع دو بازۀ مجزا است: u ≤ -a یا u ≥ a.
۲. تحلیل گامبهگام قاعده تبدیل برای a>0
فرض کنید میخواهیم نامعادلهٔ |u| ≥ a را حل کنیم، جایی که a یک عدد مثبت است. برای این کار، منطق زیر را گام به گام دنبال میکنیم:
- گام ۱: عبارت داخل قدر مطلق (u) را در نظر بگیرید.
- گام ۲: دو حالت را برای فاصله از مبدأ در نظر بگیرید:
- حالت اول (اعداد منفی دور از مبدأ): اگر u در سمت چپ -a باشد، آنگاه فاصلهٔ آن تا صفر (|u|) از a بیشتر است. این حالت به نامعادله u ≤ -a منجر میشود.
- حالت دوم (اعداد مثبت دور از مبدأ): اگر u در سمت راست a باشد، فاصلهٔ آن تا صفر نیز از a بیشتر است. این حالت به نامعادله u ≥ a منجر میشود.
- گام ۳: این دو حالت را با عملگر "یا" (که نشاندهندهٔ اجتماع است) ترکیب کنید: u ≤ -a یا u ≥ a.
توجه کنید که خود نقطهٔ -a و a به دلیل وجود علامت "≥" در نامعادله اصلی (|u| ≥ a) در جواب نهایی قرار میگیرند. اگر نامعادله از نوع |u| > a بود، جواب به صورت u < -a یا u > a نوشته میشد.
۳. کاربرد عملی: حل مثالهای متنوع
در این بخش، قاعده را برای انواع مختلف u (خطی، درجه دوم و کسری) به کار میگیریم.
مثال ۱: عبارت خطی ساده
نامعادلهٔ |x - 2| ≥ 3 را حل کنید.
حل: در اینجا u = x - 2 و a = 3. با استفاده از قاعده تبدیل داریم:
x - 2 ≤ -3 یا x - 2 ≥ 3
حال هر نامعادله را جداگانه حل میکنیم:
- x - 2 ≤ -3 ⇒ x ≤ -1
- x - 2 ≥ 3 ⇒ x ≥ 5
بنابراین مجموعه جواب: {x | x ≤ -1 یا x ≥ 5}.
مثال ۲: عبارت درجه دوم
نامعادلهٔ |x^2 - 4| ≥ 5 را حل کنید.
حل: با جایگذاری در قاعده:
x^2 - 4 ≤ -5 یا x^2 - 4 ≥ 5
حل هر بخش:
- x^2 - 4 ≤ -5 ⇒ x^2 ≤ -1 (این نامعادله جواب ندارد، زیرا مربع یک عدد نمیتواند منفی باشد).
- x^2 - 4 ≥ 5 ⇒ x^2 ≥ 9 ⇒ x ≤ -3 یا x ≥ 3.
مجموعه جواب نهایی: {x | x ≤ -3 یا x ≥ 3}.
۴. جدول مقایسه: |u| ≥ a در برابر |u| ≤ a
برای درک بهتر، قاعده تبدیل برای دو نوع اصلی نامعادلات قدر مطلق (با a>0) را در جدول زیر مقایسه میکنیم:
| نوع نامعادله | تفسیر هندسی (فاصله از مبدأ) | تبدیل به دو نامعادله | نمایش جواب روی محور |
|---|---|---|---|
| |u| ≥ a | فاصله از مبدأ، بیشتر یا مساوی a است. | u ≤ -a یا u ≥ a | دو ناحیهٔ مجزا در دو طرف مبدأ |
| |u| ≤ a | فاصله از مبدأ، کمتر یا مساوی a است. | -a ≤ u ≤ a | یک بازهٔ بسته در وسط محور |
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: اگر a در نامعادله صفر یا منفی باشد، چه اتفاقی میافتد؟
قاعدهٔ تبدیل |u| ≥ a به u ≤ -a یا u ≥ a فقط برای a>0 معتبر است. اگر a=0 باشد، نامعادله به |u| ≥ 0 تبدیل میشود که برای همهٔ اعداد حقیقی برقرار است (چون قدر مطلق همیشه نامنفی است). اگر a<0 باشد، مثلاً |u| ≥ -3، از آنجا که قدر مطلق همیشه نامنفی است، این نامعادله برای هر uای صادق بوده و مجموعه جواب تمام اعداد حقیقی است.
❓ چالش ۲: چگونه میتوان درستی جواب را برای یک مقدار خاص آزمایش کرد؟
سادهترین راه، انتخاب یک عدد از هر یک از نواحی جواب و تست آن در نامعادلهٔ اصلی است. برای مثال در مسئلهٔ |x - 2| ≥ 3، جواب x ≤ -1 یا x ≥ 5 است. عدد x = -2 را در نامعادله اصلی تست میکنیم: |-2 - 2| = |-4| = 4 ≥ 3 (✅ برقرار است). عدد x = 0 را تست میکنیم: |0 - 2| = 2 که از 3 کوچکتر است و نباید در جواب باشد (❌). این روش یک ابزار قدرتمند برای اعتبارسنجی است.
❓ چالش ۳: در نامعادلات مرکب مانند |2x + 1| ≥ |x - 3| چه باید کرد؟
در این موارد، دیگر نمیتوان مستقیماً از قاعدهٔ سادهای که در این مقاله گفتیم استفاده کرد، زیرا دو عبارت قدر مطلق داریم. برای حل چنین نامعادلاتی، معمولاً از روش مربع کردن دو طرف (با توجه به نامنفی بودن قدر مطلق) یا روش تعیین علامت و بررسی حالات استفاده میشود. قاعدهٔ |u| ≥ a زمانی کاربرد دارد که یک طرف نامعادله یک عدد ثابت و مثبت باشد.
پاورقیها
1تابع (Function): در ریاضیات، تابع رابطهای است که هر عنصر از یک مجموعه (دامنه) را به دقیقاً یک عنصر از مجموعهای دیگر (برد) نسبت میدهد. تحلیل توابع شامل بررسی ویژگیهایی مانند دامنه، برد، نقاط بحرانی و رفتار تابع است.
