مجموعه جواب نامعادله: از مفهوم تا محاسبه
در ریاضیات دبیرستان، نامعادلهها (نامساویها1) نقش کلیدی در مدلسازی مسائل دنیای واقعی دارند. برخلاف معادلهها که یک جواب مشخص دارند، مجموعه جواب یک نامعادله معمولاً شامل یک بازه یا ترکیبی از بازهها از اعداد است. در این مقاله با روشهای حل انواع نامعادلهها، از درجه یک تا قدرمطلقی و کسری، آشنا شده و با کمک جدولهای تعیین علامت، مجموعه جواب آنها را بهدست میآوریم.
مفهوم مجموعه جواب و تفاوت آن با معادله
منظور از مجموعه جواب یک نامعادله، همه مقادیری از متغیر (معمولاً x) است که نامعادله را به یک عبارت درست تبدیل میکنند . برای مثال، نامعادلة سادة $x \lt 3$ را در نظر بگیرید. هر عددی که از 3 کوچکتر باشد، مانند 2 یا 0 یا -5، در این نامعادله صدق میکند. بنابراین، مجموعه جواب آن یک بازة نامتناهی است. این ویژگی، نامعادله را از معادله متمایز میکند؛ زیرا معادله معمولاً تعداد متناهی (و گاهی تنها یک) جواب دارد.
برای نمایش مجموعه جواب از نمادهای گوناگونی استفاده میشود:
| روش نمایش | مثال برای $x \le 2$ |
|---|---|
| اعضای مجموعه2 | $\{x \mid x \le 2\}$ |
| نماد بازهای | $(-\infty, 2]$ |
| خط اعداد | خطی با نقطهای توپر روی 2 و هاشور به سمت چپ |
گامهای طلایی برای حل نامعادلهها
برای یافتن مجموعه جواب یک نامعادله، معمولاً مراحل زیر را طی میکنیم :
- سمت راست کردن صفر: تمام جملات را به یک طرف نامعادله منتقل میکنیم تا طرف دیگر صفر شود. (مثلاً $A(x) \lt 0$)
- سادهسازی و ریشهیابی: عبارت $A(x)$ را تا حد ممکن ساده میکنیم (فاکتورگیری، مخرج مشترک و ...). سپس ریشههای صورت و مخرج (در نامعادلات کسری) را بهدست میآوریم.
- تعیین علامت: با استفاده از جدول تعیین علامت، علامت $A(x)$ را در بازههای مختلف مشخص میکنیم.
- نوشتن مجموعه جواب: بازههایی را که علامت آنها با نامسألة ما (مثلاً بزرگتر از صفر یا کوچکتر مساوی صفر) مطابقت دارد، به عنوان مجموعه جواب معرفی میکنیم.
حل نامعادلههای درجه اول و دوم به کمک تعیین علامت
نامعادله درجه اول: سادهترین نوع نامعادله است. برای حل $ax + b \gt 0$، ریشة آن یعنی $x = -\frac{b}{a}$ را یافته و با توجه به علامت $a$، مجموعه جواب را تعیین میکنیم. برای مثال، نامعادلة $2x - 4 \ge 0$ را در نظر بگیرید:
- ریشه: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
- از آنجا که ضریب $x$ مثبت ($2 \gt 0$) است، عبارت برای $x \gt 2$ مثبت و برای $x \lt 2$ منفی است.
- با توجه به نامساوی $\ge 0$، مجموعه جواب بازة $[2, +\infty)$ خواهد بود.
نامعادله درجه دوم: برای نامعادلاتی مانند $ax^2 + bx + c \gt 0$، ابتدا ریشههای معادلة درجه دوم را پیدا میکنیم. سپس با توجه به علامت $a$، جدول تعیین علامت را رسم میکنیم .
تعیین علامت نامعادلات کسری (گام به گام)
نامعادلات کسری به دلیل وجود مخرج، نیاز به دقت بیشتری دارند. مهمترین نکته در اینجا، تعیین اعضایی است که مخرج را صفر میکنند؛ زیرا این اعداد هرگز نمیتوانند عضو مجموعه جواب باشند . مراحل حل را با یک مثال کامل بررسی میکنیم.
مثال: مجموعه جواب نامعادلة $\frac{x^2-4x+4}{x-1} \le 0$ را بیابید.
- گام 1: سادهسازی و ریشهیابی
صورت: $x^2-4x+4 = (x-2)^2$. بنابراین ریشة صورت $x=2$ (ریشه مضاعف) است.
مخرج: $x-1$، ریشه $x=1$. - گام 2: جدول تعیین علامت
ریشهها را به ترتیب صعودی روی محور میچینیم: $1$ و $2$. علامت هر عبارت را در بازهها بررسی میکنیم.
| بازه / نقطه | $(-\infty, 1)$ | $x=1$ | $(1, 2)$ | $x=2$ | $(2, +\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $(x-2)^2$ | + | + | + | 0 | + |
| $x-1$ | - | 0 | + | + | + |
| خارج قسمت | - | تعریفنشده | + | 0 | + |
- گام 3: انتخاب بازهها
نامسألة ما $\le 0$ (کوچکتر یا مساوی صفر) است. بنابراین بازههایی که عبارت در آنها منفی است، به همراه نقاطی که صورت صفر میشود (چون مساوی صفر مجاز است) را برمیگزینیم. نقاطی که مخرج صفر میشوند هرگز انتخاب نمیشوند. - مجموعه جواب: با توجه به جدول، تنها بازة $(-\infty, 1)$ منفی است. همچنین در $x=2$ عبارت برابر صفر است. بنابراین مجموعه جواب برابر است با: $(-\infty, 1) \cup \{2\}$
کاربرد در نامعادلات قدر مطلقی
نامعادلات قدر مطلقی $|A(x)| \le a$ یا $|A(x)| \ge a$ نیز با استفاده از مفهوم مجموعه جواب حل میشوند . برای نمونه، نامعادلة $|x-2| \lt 3$ به این معناست که فاصلة $x$ از 2، از 3 کمتر است. بنابراین:
و مجموعه جواب بازة $(-1, 5)$ خواهد بود.
چالشهای مفهومی
1. چرا وقتی یک نامعادله را در عدد منفی ضرب میکنیم، جهت نامساوی عوض میشود؟
این موضوع به خاصیت اعداد منفی بازمیگردد. برای مثال، میدانیم $2 \lt 3$ است. اگر دو طرف را در $-1$ ضرب کنیم، به $-2 \gt -3$ میرسیم. چون $-2$ از $-3$ بزرگتر است. این قانون برای حفظ درستی نامساوی پس از ضرب در یک عدد منفی وضع شده است.
2. آیا همیشه مجموعه جواب یک نامعادله، یک بازه است؟
خیر. همانطور که در مثال کسری دیدیم، گاهی جواب شامل یک بازه و یک نقطة جداگانه (مثلاً $\{2\}$) میشود. همچنین ممکن است جواب، اجتماع دو بازة مجزا باشد، مانند $x^2 \gt 1$ که مجموعه جواب آن $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ است.
3. منظور از "تعیین علامت" چیست و چرا برای حل نامعادله ضروری است؟
تعیین علامت یعنی مشخص کردن این که یک عبارت جبری در نقاط و بازههای مختلف، چه علامتی (مثبت، منفی یا صفر) دارد. این کار به ما امکان میدهد بدون جایگذاری اعداد بیشمار، بازههایی را که در آنها نامساوی برقرار است، به سرعت شناسایی کنیم .
جدول مقایسه انواع نامعادلهها
| نوع نامعادله | مثال | روش حل کلیدی | نکته مهم |
|---|---|---|---|
| درجه اول | $3x + 2 \ge 0$ | جداسازی متغیر | اگر در منفی ضرب شد، جهت نامساوی عوض شود. |
| درجه دوم | $x^2 -4 \lt 0$ | تحلیل علامت با توجه به ریشهها و ضریب $x^2$ | اگر ممیز منفی باشد، علامت عبارت همواره موافق علامت ضریب $x^2$ است. |
| کسری | $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ | تعیین علامت صورت و مخرج به صورت جداگانه | نقاطی که مخرج صفر میکنند، هرگز در جواب نیستند. |
| قدر مطلقی | $|x-1| \gt 2$ | تبدیل به دو نامساوی (با در نظر گرفتن فاصله) | برای $\gt$ جواب به صورت دو بازه مجزا و برای $\lt$ به صورت یک بازة بسته است. |
در یک نگاه
مجموعه جواب یک نامعادله، قلب مفهوم نامعادله است. برخلاف معادله که به دنبال یک عدد مشخص میگردیم، در نامعادله به دنبال بازهای از اعداد هستیم که در یک شرط مشخص صدق کنند. برای یافتن این مجموعه، باید با دقت مراحل سادهسازی، ریشهیابی و تعیین علامت را پشت سر بگذاریم. دقت در نقاط بحرانی (ریشههای مخرج در نامعادلات کسری) و تأثیر ضرب در اعداد منفی، کلید طلایی موفقیت در حل این مسائل است.
پاورقیها
1نامساوی (Inequality): عبارتی ریاضی که نشان میدهد دو مقدار با هم برابر نیستند و یکی بزرگتر یا کوچکتر از دیگری است.
2مجموعه (Set): گردایهای از اشیاء مشخص و متمایز که به عنوان یک شیء واحد در نظر گرفته میشود .
3تعیین علامت (Sign Determination): فرایند تعیین مثبت، منفی یا صفر بودن یک عبارت ریاضی در بازههای مختلف دامنة آن.