برخورد سهمی با محور xها: سفری به دنیای ریشهها
آشنایی با نقاط برخورد سهمی با محور افقی، از مفهوم دلتا و ریشهیابی تا کاربرد در مسائل بهینهسازی
در این مقاله، به طور کامل با مفهوم قطع محور xها توسط سهمی آشنا میشویم. میآموزیم که چگونه با استفاده از معادله درجه دوم و محاسبه دلتا، موقعیت و تعداد این نقاط را تعیین کنیم. با بررسی حالتهای مختلف دلتا (مثبت، صفر و منفی) و ارائه مثالهای عددی گوناگون، درک عمیقی از رابطه بین جوابهای معادله و نقاط برخورد سهمی با محور افقی به دست خواهید آورد.
۱. سهمی و محور xها: جستجوی نقاط برخورد
تابع درجه دوم به شکل کلی $y=ax^2+bx+c$ تعریف میشود که در آن $a \neq 0$ است. نمودار این تابع، منحنیای به نام سهمی[1] است. محور xها در دستگاه مختصات، خطی افقی است که در آن ارتفاع یا $y$ همواره برابر با صفر است . بنابراین، منظور از قطع محور xها توسط سهمی، یافتن نقاطی روی منحنی است که عرض یا $y$ آنها صفر باشد . به بیان دیگر، این نقاط مختصاتی به شکل $(x, 0)$ دارند. برای یافتن این نقاط، کافی است در معادله سهمی، مقدار $y$ را برابر صفر قرار دهیم. با این کار، به یک معادله درجه دوم بر حسب $x$ میرسیم :
فرم کلی معادله برای یافتن نقاط برخورد با محور xها:
هر جواب حقیقی این معادله، نشاندهنده یک نقطه برخورد بین سهمی و محور xها است. به این جوابها، ریشههای معادله یا صفرهای تابع نیز گفته میشود .
$ax^2 + bx + c = 0$
۲. دلتا، کلید گشودن رمز تعداد ریشهها
برای اینکه بفهمیم یک معادله درجه دوم چند جواب حقیقی دارد، نیازی به حل کامل آن نیست. کافی است مقدار دلتا[2] را محاسبه کنیم. دلتا با نماد $\Delta$ نمایش داده میشود و از رابطه زیر به دست میآید :
فرمول محاسبه دلتا:
علامت دلتا به طور مستقیم تعداد نقاط برخورد سهمی با محور xها را مشخص میکند . این رابطه در جدول زیر به صورت خلاصه و زیبا نشان داده شده است:
$\Delta = b^2 - 4ac$
| علامت دلتا ($\Delta$) | تعداد نقاط برخورد با محور xها | وضعیت ریشهها | توضیح |
|---|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | دو نقطه | دو ریشه حقیقی متمایز | سهمی محور xها را در دو نقطه قطع میکند. |
| $\Delta = 0$ | یک نقطه | یک ریشه حقیقی مضاعف | سهمی بر محور xها مماس میشود . |
| $\Delta \lt 0$ | هیچ نقطهای | دو ریشه مختلط (غیر حقیقی) | سهمی محور xها را قطع یا لمس نمیکند و کاملاً بالای یا پایین آن قرار دارد. |
۳. فرمول ریشهها: استخراج نقاط برخورد
پس از آنکه متوجه شدیم دلتا بزرگتر یا مساوی صفر است (یعنی حداقل یک نقطه برخورد داریم)، میتوانیم مختصات دقیق این نقاط را با استفاده از فرمول عمومی حل معادله درجه دوم به دست آوریم :
فرمول عمومی ریشهها:
در این فرمول، علامت $\pm$ نشان میدهد که دو مقدار برای $x$ به دست میآید (که در حالت دلتای صفر، این دو مقدار با هم برابرند). این مقادیر، طول نقاط برخورد سهمی با محور xها هستند. به عنوان مثال، معادله $2x^2+5x-3=0$ را در نظر بگیرید . با استفاده از فرمول دلتا و ریشهها، به راحتی میتوان نقاط برخورد آن با محور xها را پیدا کرد:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
گام ۱: محاسبه دلتا
$\Delta = (5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \gt 0$
گام ۲: محاسبه ریشهها
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$
گام ۳: یافتن نقاط
$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ و $x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
بنابراین، سهمی مربوط به این معادله، محور xها را در دو نقطه $(0.5, 0)$ و $(-3, 0)$ قطع میکند.
$\Delta = (5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \gt 0$
گام ۲: محاسبه ریشهها
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$
گام ۳: یافتن نقاط
$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ و $x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
بنابراین، سهمی مربوط به این معادله، محور xها را در دو نقطه $(0.5, 0)$ و $(-3, 0)$ قطع میکند.
۴. کاربرد عملی: پیشبینی مسیر حرکت با نگاهی به ریشهها
فرض کنید توپی را از روی زمین به سمت بالا پرتاب میکنیم. معادله ارتفاع توپ از سطح زمین پس از $t$ ثانیه به صورت $h(t) = -5t^2 + 20t$ باشد (ارتفاع بر حسب متر). در اینجا، قطع محور xها (یعنی محور زمانها، $t$) به چه معناست؟ ارتفاع صفر، یعنی توپ دوباره به زمین بازگشته است. برای یافتن مدت زمان کلی حرکت توپ (از لحظه پرتاب تا برگشت به زمین)، کافی است معادله $h(t)=0$ را حل کنیم:
$-5t^2 + 20t = 0 \Rightarrow 5t(-t + 4) = 0$
این معادله دو جواب دارد: $t_1 = 0$ و $t_2 = 4$. جواب اول ($t=0$) لحظه پرتاب توپ از زمین را نشان میدهد. جواب دوم ($t=4$) لحظه بازگشت توپ به زمین است. بنابراین، کل زمان حرکت توپ $4$ ثانیه خواهد بود. میبینید که چگونه نقاط برخورد با محور xها اطلاعات ارزشمندی درباره مسئله به ما میدهند.
چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا همیشه سهمی باید محور xها را قطع کند؟
پاسخ: خیر. اگر دلتای معادله متناظر با سهمی منفی باشد ($\Delta \lt 0$)، سهمی محور xها را قطع نمیکند. این بدان معناست که سهمی کاملاً بالای محور xها (اگر $a \gt 0$) یا کاملاً پایین آن (اگر $a \lt 0$) قرار دارد . برای مثال، سهمی $y=x^2+2x+3$ را در نظر بگیرید. دلتای آن $4-12=-8 \lt 0$ است و محور xها را قطع نمیکند.
پاسخ: خیر. اگر دلتای معادله متناظر با سهمی منفی باشد ($\Delta \lt 0$)، سهمی محور xها را قطع نمیکند. این بدان معناست که سهمی کاملاً بالای محور xها (اگر $a \gt 0$) یا کاملاً پایین آن (اگر $a \lt 0$) قرار دارد . برای مثال، سهمی $y=x^2+2x+3$ را در نظر بگیرید. دلتای آن $4-12=-8 \lt 0$ است و محور xها را قطع نمیکند.
❓ چالش ۲: اگر سهمی بر محور xها مماس باشد، چه اطلاعاتی درباره رأس آن داریم؟
پاسخ: هنگامی که سهمی بر محور xها مماس است ($\Delta = 0$)، نقطه تماس در واقع همان رأس سهمی است . به عبارت دیگر، رأس سهمی دقیقاً روی محور xها قرار دارد. در این حالت، طول رأس که از فرمول $x_s=-\frac{b}{2a}$ به دست میآید، همان ریشه مضاعف معادله است .
پاسخ: هنگامی که سهمی بر محور xها مماس است ($\Delta = 0$)، نقطه تماس در واقع همان رأس سهمی است . به عبارت دیگر، رأس سهمی دقیقاً روی محور xها قرار دارد. در این حالت، طول رأس که از فرمول $x_s=-\frac{b}{2a}$ به دست میآید، همان ریشه مضاعف معادله است .
❓ چالش ۳: چه رابطهای بین ضرایب معادله و علامت ریشهها وجود دارد؟
پاسخ: بدون محاسبه مستقیم ریشهها، با استفاده از روابط بین ضرایب میتوان به علامت ریشهها پی برد. مجموع ریشهها برابر $-\frac{b}{a}$ و حاصلضرب آنها برابر $\frac{c}{a}$ است . برای مثال، اگر $\frac{c}{a} \gt 0$ باشد، دو ریشه همعلامت هستند. اگر $-\frac{b}{a} \gt 0$ و $\frac{c}{a} \gt 0$ باشد، هر دو ریشه مثبت خواهند بود.
پاسخ: بدون محاسبه مستقیم ریشهها، با استفاده از روابط بین ضرایب میتوان به علامت ریشهها پی برد. مجموع ریشهها برابر $-\frac{b}{a}$ و حاصلضرب آنها برابر $\frac{c}{a}$ است . برای مثال، اگر $\frac{c}{a} \gt 0$ باشد، دو ریشه همعلامت هستند. اگر $-\frac{b}{a} \gt 0$ و $\frac{c}{a} \gt 0$ باشد، هر دو ریشه مثبت خواهند بود.
در این مقاله، با مفهوم بنیادی قطع محور xها توسط سهمی آشنا شدیم. دیدیم که این نقاط در واقع همان ریشههای معادله درجه دوم هستند و تعداد آنها توسط علامت دلتا تعیین میشود. دلتای مثبت به معنای دو نقطه برخورد، دلتای صفر به معنای مماس بودن (یک نقطه تماس) و دلتای منفی به معنای عدم برخورد سهمی با محور xها است. فرمول ریشهها ابزاری قدرتمند برای یافتن مختصات این نقاط در اختیار ما قرار میدهد. درک این مفاهیم نه تنها در ریاضیات، بلکه در تحلیل مسائل دنیای واقعی مانند حرکت پرتابهها و بهینهسازی در مهندسی و اقتصاد کاربرد دارد.
پاورقیها
[1]سهمی (Parabola): منحنی است که هر نقطه روی آن از یک نقطه ثابت به نام کانون و یک خط ثابت به نام خط هادی به یک فاصله است. نمودار توابع درجه دوم به صورت سهمی است .
[2]دلتا (Delta): عبارتی در جبر که برای تعیین ماهیت ریشههای یک معادله درجه دوم به کار میرود و با نماد $\Delta$ نمایش داده میشود. مقدار آن از رابطه $\Delta = b^2 - 4ac$ به دست میآید .
[2]دلتا (Delta): عبارتی در جبر که برای تعیین ماهیت ریشههای یک معادله درجه دوم به کار میرود و با نماد $\Delta$ نمایش داده میشود. مقدار آن از رابطه $\Delta = b^2 - 4ac$ به دست میآید .
