میانگین داده‌های گروه‌بندی شده: یک روش ساده و کاربردی
چرا داده‌ها را دسته‌بندی می‌کنیم؟
فرض کنید معلم شما نمرات امتحان تمام دانش‌آموزان پایه هشتم مدرسه (مثلاً ۱۰۰ دانش‌آموز) را در اختیار دارد. اگر بخواهد میانگین نمرات را به روش معمول حساب کند، باید همه ۱۰۰ نمره را با هم جمع و سپس بر ۱۰۰ تقسیم کند. این کار زمان‌بر است. در عوض، می‌تواند نمرات را در گروه‌های مختلف قرار دهد. برای مثال:
| دسته نمرات | تعداد دانش‌آموزان (فراوانی) |
|---|---|
| 20-10 | 5 |
| 30-21 | 12 |
| 40-31 | 18 |
| 50-41 | 25 |
حالا کار بسیار ساده‌تر شده است. به جای کار با ۱۰۰ عدد، فقط با ۴ دسته و تعداد دانش‌آموزان در هر دسته سر و کار داریم.
مرکز دسته چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
برای محاسبه میانگین، به یک عدد نماینده برای هر دسته نیاز داریم. این عدد، مرکز دسته نام دارد. مرکز دسته، عددی است که درست در وسط یک دسته قرار می‌گیرد. برای پیدا کردن آن، کافی است کران پایین و کران بالای دسته را با هم جمع کرده و بر دو تقسیم کنیم.
مثال: برای دسته 20-10، مرکز دسته می‌شود: $ \frac{10 + 20}{2} = 15 $. این عدد 15 به عنوان نماینده تمام نمرات بین ۱۰ تا ۲۰ در نظر گرفته می‌شود.
گام‌به‌گام تا محاسبه میانگین
حالا با هم یک مثال کامل را از ابتدا تا انتها حل می‌کنیم. فرض کنید قد دانش‌آموزان یک کلاس به سانتی‌متر به صورت زیر اندازه‌گیری و دسته‌بندی شده است:
| دسته قد (سانتی‌متر) | فراوانی (تعداد دانش‌آموزان) | مرکز دسته (x) | فراوانی × مرکز دسته (f × x) |
|---|---|---|---|
| 140-130 | 4 | $ \frac{130+140}{2} = 135 $ | $ 4 \times 135 = 540 $ |
| 150-141 | 10 | $ \frac{141+150}{2} = 145.5 $ | $ 10 \times 145.5 = 1455 $ |
| 160-151 | 15 | $ \frac{151+160}{2} = 155.5 $ | $ 15 \times 155.5 = 2332.5 $ |
| 170-161 | 8 | $ \frac{161+170}{2} = 165.5 $ | $ 8 \times 165.5 = 1324 $ |
| جمع | ∑f = 37 | - | ∑(f×x) = 5651.5 |
حالا با استفاده از فرمول نهایی، میانگین قد دانش‌آموزان را محاسبه می‌کنیم:
در این فرمول، $ \sum (f \times x) $ یعنی «جمع حاصل‌ضرب‌های فراوانی در مرکز دسته» و $ \sum f $ یعنی «جمع کل فراوانی‌ها» (تعداد کل داده‌ها).
پس برای مثال قد: $ \bar{x} = \frac{5651.5}{37} \approx 152.7 $ سانتی‌متر.
میانگین قد دانش‌آموزان این کلاس تقریباً 152.7 سانتی‌متر است.
کاربرد روش در زندگی روزمره
شاید فکر کنید این روش فقط در مدرسه کاربرد دارد، اما کاربردهای آن در زندگی بسیار گسترده است.
یک فروشگاه لباس را در نظر بگیرید. مدیر فروشگاه می‌خواهد بداند میانگین فروش روزانه چقدر است. او نمی‌خواهد تک‌تک فاکتورهای ۳۰ روز گذشته را بررسی کند. پس داده‌ها را دسته‌بندی می‌کند: روزهای با فروش کم، متوسط و زیاد. سپس با محاسبه مرکز هر دسته و فراوانی روزهایی که در آن دسته قرار گرفته‌اند، به سرعت میانگین فروش را تخمین می‌زند. این اطلاعات به او در برنامه‌ریزی برای خرید موجودی جدید کمک زیادی می‌کند.
یا یک باغدار که می‌خواهد میانگین وزن پرتقال‌های یک درخت را بداند. او همه پرتقال‌ها را وزن نمی‌کند، بلکه آن‌ها را بر اساس سایز (کوچک، متوسط، بزرگ) دسته‌بندی کرده، مرکز دسته و تعداد پرتقال در هر دسته را مشخص می‌کند و میانگین را به سرعت به دست می‌آورد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر، این میانگین یک تخمین4 است. چون ما از مرکز دسته به جای تمام اعداد واقعی استفاده کرده‌ایم، نتیجه ممکن است کمی با میانگین واقعی تفاوت داشته باشد. اما برای اکثر اهداف، این تخمین بسیار به مقدار واقعی نزدیک و کاملاً قابل قبول است.
پاسخ: یک اشتباه رایج، در نظر نگرفتن فاصله بین دسته‌ها است. اگر دسته‌ها پیوسته نباشند (مثلاً دسته‌ها به صورت 20-10 و سپس 35-21 باشند)، محاسبه مرکز دسته نیاز به دقت بیشتری دارد. در چنین مواردی باید از کران‌های واقعی (مثلاً 20.5-9.5) استفاده کرد. اما در سطح پایه هشتم، معمولاً با دسته‌های پیوسته و منظم سر و کار داریم.
پاسخ: اگر فراوانی یک دسته صفر باشد، یعنی هیچ داده‌ای در آن بازه وجود ندارد. در این حالت، حاصل‌ضرب $ f \times x $ برای آن دسته نیز صفر خواهد شد و در جمع نهایی تأثیری ندارد. می‌توانید آن ردیف را از جدول حذف کنید یا با صفر در محاسبات شرکت دهید.
محاسبه میانگین داده‌های دسته‌بندی شده یک روش قدرتمند و در عین حال ساده برای خلاصه‌سازی و تحلیل مجموعه‌داده‌های بزرگ است. مراحل اصلی آن عبارت‌اند از: ۱) دسته‌بندی داده‌ها ۲) محاسبه مرکز هر دسته ۳) ضرب مرکز دسته در فراوانی آن ۴) جمع‌زدن همه این حاصل‌ضرب‌ها ۵) تقسیم حاصل جمع بر مجموع فراوانی‌ها. با تسلط بر این روش، می‌توانید به راحتی میانگین را در موقعیت‌های مختلف زندگی و تحصیل محاسبه کنید.
پاورقی
1دسته‌بندی (Classification): فرآیند گروه‌بندی داده‌های مشابه در دسته‌ها یا بازه‌های مختلف.
2مرکز دسته (Class Mark/Midpoint): عددی که نماینده تمام مقادیر درون یک دسته است و از میانگین کران بالا و پایین دسته به دست می‌آید.
3فراوانی (Frequency): تعداد دفعاتی که داده‌ها در یک دسته خاص ظاهر می‌شوند.
4تخمین (Estimation): یک مقدار تقریبی که به جای مقدار دقیق و واقعی استفاده می‌شود.
