سهمی: نمودار تابعی از نوع y=ax^2+bx+c که a ناصفر است

نمودار سهمی: از فرمول تا کاربرد در بهینه‌سازی مسائل

شناخت ساختار سهمی: معادله، اجزا و شکل نمودار

تابع درجه‌ دوم به شکل کلی $y=ax^{2}+bx+c$ که در آن $a \neq 0$ است، همیشه یک نمودار منحنی‌شکل به نام سهمی¹ ایجاد می‌کند . این منحنی یکی از مقاطع مخروطی است و ویژگی‌های منحصربه‌فردی دارد که آن را به یکی از پرکاربردترین توابع در ریاضیات تبدیل کرده است. مهم‌ترین اجزای یک سهمی عبارتند از:

• رأس (Vertex): نقطه‌ای که سهمی در آن تغییر جهت می‌دهد. این نقطه پایین‌ترین نقطه (کمینه) اگر سهمی رو به بالا باشد، یا بالاترین نقطه (بیشینه) اگر سهمی رو به پایین باشد، محسوب می‌شود .
• محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی عمودی که از رأس می‌گذرد و سهمی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم می‌کند. معادله این خط همواره $x = x_s$ است که $x_s$ طول رأس می‌باشد.
• کانون (Focus) و خط هادی (Directrix): دو عنصر کلیدی در تعریف هندسی سهمی. سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصله آنها تا یک نقطه ثابت (کانون) با فاصله آنها تا یک خط ثابت (خط هادی) برابر است .

فرمول‌های طلایی: محاسبه مختصات رأس سهمی

برای یافتن مختصات رأس که معمولاً با نماد $(h,k)$ یا $(x_s,y_s)$ نشان داده می‌شود، دو روش اصلی وجود دارد که استفاده از آن‌ها بسیار ساده است :

الف) محاسبه طول رأس (مختصه x):

$x_s = -\frac{b}{2a}$

ب) محاسبه عرض رأس (مختصه y): دو راه داریم:

• روش جایگذاری: مقدار $x_s$ را در معادله اصلی قرار می‌دهیم: $y_s = a(x_s)^2 + b(x_s) + c$.
• روش فرمول دلتا: با استفاده از مقدار $\Delta = b^2-4ac$ داریم: $y_s = -\frac{\Delta}{4a}$.

مثال: برای تابع $y = 2x^2 - 4x + 1$، داریم $a=2, b=-4, c=1$. طول رأس برابر است با: $x_s = -\frac{(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$. سپس عرض رأس: $y_s = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$. بنابراین رأس در نقطه $(1, -1)$ قرار دارد.

تشخیص بیشینه یا کمینه بودن رأس: نقش حیاتی ضریب a

یکی از ساده‌ترین و در عین حال مهم‌ترین نکات درباره سهمی، تشخیص این است که آیا رأس نشان‌دهنده بالاترین مقدار (بیشینه) است یا پایین‌ترین مقدار (کمینه). این ویژگی کاملاً به علامت ضریب $a$ در معادله درجه دوم بستگی دارد . جدول زیر به خوبی این تفاوت را نشان می‌دهد:

کاربرد عملی سهمی: از پرتاب توپ تا طراحی سقف

مفهوم سهمی صرفاً یک انتزاع ریاضی نیست، بلکه در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارد . در ادامه دو مثال عینی از کاربرد آن را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱: مسیر حرکت پرتابه (فیزیک)

فرض کنید توپی را با سرعت اولیه به سمت بالا پرتاب می‌کنیم. ارتفاع توپ پس از $x$ ثانیه با معادله $h(x) = -5x^2 + 20x + 2$ (بر حسب متر) مدل‌سازی شود . می‌خواهیم بدانیم بیشترین ارتفاع توپ چقدر است و در چه زمانی به این ارتفاع می‌رسد؟

• گام ۱ (تشخیص نوع رأس): چون $a = -5 \lt 0$، دهانه سهمی رو به پایین است و رأس نشان‌دهنده بیشینه (حداکثر ارتفاع) خواهد بود .
• گام ۲ (محاسبه زمان رسیدن به بیشینه): با استفاده از فرمول طول رأس: $x_s = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ ثانیه.
• گام ۳ (محاسبه بیشترین ارتفاع): مقدار $x_s=2$ را در معادله جایگذاری می‌کنیم: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ متر.

بنابراین، توپ پس از $2$ ثانیه به بیشترین ارتفاع خود یعنی $22$ متر می‌رسد.

مثال ۲: بهینه‌سازی مساحت در مهندسی

یک کشاورز می‌خواهد با $100$ متر فنس، یک زمین مستطیل‌شکل را در کنار یک دیوار بلند محصور کند (ضلع مقابل دیوار نیازی به فنس ندارد). ابعاد زمین را طوری بیابید که مساحت آن بیشینه شود .

• گام ۱ (مدل‌سازی): اگر عرض زمین (عمود بر دیوار) را $x$ و طول زمین (موازی با دیوار) را $y$ بنامیم، مقدار فنس مصرفی: $2x + y = 100$. مساحت: $S = x \times y$. با جایگذاری $y = 100 - 2x$، تابع درجه دوم $S(x) = x(100-2x) = -2x^2 + 100x$ حاصل می‌شود.
• گام ۲ (تعیین نوع بهینگی): ضریب $a = -2 \lt 0$ است، پس تابع مساحت دارای بیشینه می‌باشد.
• گام ۳ (یافتن عرض بهینه):$x_s = -\frac{100}{2 \times (-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$ متر.
• گام ۴ (یافتن طول بهینه):$y = 100 - 2(25) = 50$ متر.

پس با ابعاد $25$ متر (عرض) و $50$ متر (طول)، بیشینه مساحت برابر $S = 25 \times 50 = 1250$ متر مربع خواهد بود.

چالش‌های مفهومی

پاورقی‌ها