قاعده ریشه nامِ حاصلضرب: از تعریف تا کاربرد
آشنایی با قانون مهم رادیکالها: چطور حاصلضرب دو ریشه را ساده کنیم؟
قاعده ریشه nام حاصلضرب (Product Rule for nth Roots) بیان میکند که برای اعداد حقیقی، ریشه nام حاصلضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب ریشه nام آنها. این اصل ساده اما قدرتمند، پایه و اساس بسیاری از عملیاتهای جبری مانند سادهسازی رادیکالها، ضرب رادیکالهای همفرجه و حل معادلات رادیکال است. در این مقاله با شرطهای مهم این قانون (برای فرجههای زوج و فرد) آشنا شده و کاربرد آن را در مثالهای متنوع بررسی میکنیم.
۱. تعریف ریاضی و شرایط قانون ریشه nام
قاعده ریشه nام حاصلضرب یکی از اساسیترین قوانین در جبر و کار با رادیکالها است. این قانون به ما اجازه میدهد تا حاصلضرب دو عبارت رادیکالی را به صورت یک رادیکال واحد بنویسیم و برعکس. فرمول کلی این قانون به صورت زیر است:
$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$
نکته بسیار مهم در استفاده از این قانون، توجه به فرجه (n) و علامت اعداد زیر رادیکال (a و b) است. قانون مذکور بسته به زوج یا فرد بودن فرجه، شرایط متفاوتی دارد. شرط اصلی: یکسان بودن فرجه
$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$
نکته بسیار مهم در استفاده از این قانون، توجه به فرجه (n) و علامت اعداد زیر رادیکال (a و b) است. قانون مذکور بسته به زوج یا فرد بودن فرجه، شرایط متفاوتی دارد. شرط اصلی: یکسان بودن فرجه
۲. بررسی حالتهای مختلف: فرجه زوج در مقابل فرجه فرد
مهمترین نکته در بهکارگیری این قانون، تشخیص درست شرایط اعمال آن است. در ادامه به تفکیک این شرایط را بررسی میکنیم:
- فرجه فرد (n فرد): برای فرجههای فرد مانند ۳، ۵، ۷ و ...، قانون ریشه nام حاصلضرب برای همه اعداد حقیقی a و b برقرار است. یعنی a و b میتوانند مثبت، منفی یا صفر باشند.
مثال: $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{(-8)\times 27} = \sqrt[3]{-216} = -6$ - فرجه زوج (n زوج): برای فرجههای زوج مانند ۲، ۴، ۶ و ...، قانون ریشه nام حاصلضرب فقط زمانی برقرار است که هر دو عدد a و b غیرمنفی باشند
($a \ge 0$ و $b \ge 0$)
. دلیل این امر آن است که ریشه زوج یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است.
مثال: $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$
| نوع فرجه | شرط اعداد (a و b) | مثال نقض (در صورت وجود) |
|---|---|---|
| فرد (مثل ۳، ۵) | بدون شرط (تمام اعداد حقیقی) | $\sqrt[3]{-2} \times \sqrt[3]{-5} = \sqrt[3]{10}$ معتبر |
| زوج (مثل ۲، ۴) | هر دو باید غیرمنفی ($a \ge 0, b \ge 0$) | $\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} \neq \sqrt{36}$ نامعتبر |
۳. اثبات قاعده (برای درک عمیقتر)
اثبات این قاعده به تعریف ریشه nام بازمیگردد. فرض کنید
$x = \sqrt[n]{a}$
و
$y = \sqrt[n]{b}$
. طبق تعریف، داریم:
$x^n = a$
و
$y^n = b$
. حال اگر x و y را در هم ضرب کنیم:
$(x \times y)^n = x^n \times y^n = a \times b$
با تعریف ریشه nام، اگر $(x \times y)^n = a \times b$ آنگاه $x \times y = \sqrt[n]{a \times b}$ . اما این استدلال نهایی برای فرجههای زوج تنها زمانی کاملاً درست است که بدانیم $x \times y$ غیرمنفی است، زیرا ریشه زوج یک عدد تنها یک جواب غیرمنفی دارد. اینجاست که شرط $a, b \ge 0$ ضروری میشود تا $x, y \ge 0$ و در نتیجه $x \times y \ge 0$ باشد.
$(x \times y)^n = x^n \times y^n = a \times b$
با تعریف ریشه nام، اگر $(x \times y)^n = a \times b$ آنگاه $x \times y = \sqrt[n]{a \times b}$ . اما این استدلال نهایی برای فرجههای زوج تنها زمانی کاملاً درست است که بدانیم $x \times y$ غیرمنفی است، زیرا ریشه زوج یک عدد تنها یک جواب غیرمنفی دارد. اینجاست که شرط $a, b \ge 0$ ضروری میشود تا $x, y \ge 0$ و در نتیجه $x \times y \ge 0$ باشد.
۴. کاربرد عملی: سادهسازی عبارات رادیکال
مهمترین کاربرد این قاعده، سادهسازی رادیکالها است. با استفاده از این قانون میتوانیم اعداد بزرگ زیر رادیکال را به عوامل کوچکتر تجزیه کرده و رادیکال را ساده کنیم. این فرآیند به ویژه در حل معادلات و مقایسه اعداد رادیکالی بسیار مفید است.
- مثال ۱ (ریشه دوم): عبارت
$\sqrt{50}$
را ساده کنید.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ - مثال ۲ (ریشه سوم): عبارت
$\sqrt[3]{-54}$
را ساده کنید.
$\sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{-27 \times 2} = \sqrt[3]{-27} \times \sqrt[3]{2} = (-3) \times \sqrt[3]{2} = -3\sqrt[3]{2}$
نکته طلایی: گاهی اوقات از این قانون به صورت معکوس برای ضرب کردن یک عدد در یک رادیکال استفاده میشود. مثلاً
$3\sqrt{2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}$
. این کار در مقایسه اعداد رادیکالی بدون ضریب بسیار کاربردی است.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
چالش ۱: آیا عبارت
$\sqrt[4]{-16} \times \sqrt[4]{-4} = \sqrt[4]{64}$
درست است؟
پاسخ: خیر. فرجه ۴ زوج است و اعداد زیر رادیکال (۱۶- و ۴-) منفی هستند. ریشه زوج اعداد منفی در اعداد حقیقی تعریف نشده است، بنابراین طرف چپ معادله اصلاً مقداری ندارد و قانون قابل اعمال نیست.
پاسخ: خیر. فرجه ۴ زوج است و اعداد زیر رادیکال (۱۶- و ۴-) منفی هستند. ریشه زوج اعداد منفی در اعداد حقیقی تعریف نشده است، بنابراین طرف چپ معادله اصلاً مقداری ندارد و قانون قابل اعمال نیست.
چالش ۲: اگر
$\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{y} = 2$
باشد، مقدار
$x \times y$
چقدر است؟
پاسخ: با استفاده از قاعده ریشه nام حاصلضرب (چون فرجه ۳ فرد است)، داریم: $\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x \times y} = 2$ . حال با مکعب کردن دو طرف معادله به توان ۳ میرسیم به $x \times y = 2^3 = 8$ .
پاسخ: با استفاده از قاعده ریشه nام حاصلضرب (چون فرجه ۳ فرد است)، داریم: $\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x \times y} = 2$ . حال با مکعب کردن دو طرف معادله به توان ۳ میرسیم به $x \times y = 2^3 = 8$ .
چالش ۳: چرا در سادهسازی
$\sqrt{(-5)\times(-5)}$
باید بسیار مراقب بود؟
پاسخ: اگر مستقیماً قانون را برای فرجه زوج اعمال کنیم، مینویسیم: $\sqrt{(-5)\times(-5)} = \sqrt{25} = 5$ . اما طبق تعریف، $\sqrt{(-5)\times(-5)}$ برابر است با $\sqrt{25}$ که همان ۵ است. اما اگر قانون را به صورت جداگانه روی هر رادیکال اعمال کنیم، $\sqrt{-5}$ تعریف نشده است. این مثال نشان میدهد که قانون $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ برای اعداد منفی تحت فرجه زوج معتبر نیست و باید ابتدا عملیات داخل رادیکال را انجام دهیم.
پاسخ: اگر مستقیماً قانون را برای فرجه زوج اعمال کنیم، مینویسیم: $\sqrt{(-5)\times(-5)} = \sqrt{25} = 5$ . اما طبق تعریف، $\sqrt{(-5)\times(-5)}$ برابر است با $\sqrt{25}$ که همان ۵ است. اما اگر قانون را به صورت جداگانه روی هر رادیکال اعمال کنیم، $\sqrt{-5}$ تعریف نشده است. این مثال نشان میدهد که قانون $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ برای اعداد منفی تحت فرجه زوج معتبر نیست و باید ابتدا عملیات داخل رادیکال را انجام دهیم.
قاعده ریشه nام حاصلضرب ابزاری قدرتمند و پرکاربرد در ریاضیات دبیرستان است. درک شرط بنیادی آن (توجه به زوج یا فرد بودن فرجه) از بروز بسیاری از خطاهای رایج جلوگیری میکند. به خاطر داشته باشید که برای فرجههای فرد، قانون همیشه برقرار است، اما برای فرجههای زوج، اعمال قانون مستلزم غیرمنفی بودن عبارات زیر رادیکال است. با تمرین و تکرار مثالهای متنوع، میتوانید از این قانون به راحتی در سادهسازی عبارات جبری و حل مسائل پیچیدهتر استفاده کنید.
پاورقیها
- فرجه (Index): عدد کوچکی که روی رادیکال نوشته میشود و نشاندهنده ریشه مورد نظر است. مثلاً در $\sqrt[3]{8}$ ، عدد ۳ فرجه و ۸ رادیکالشونده است.
- رادیکالشونده (Radicand): مقداری که زیر علامت رادیکال قرار میگیرد. در مثال بالا، ۸ رادیکالشونده است.
- ریشه nام (nth Root): عددی مانند x که اگر n بار در خود ضرب شود، عدد a را به دست دهد. به عبارت دیگر $x^n = a$ .
