طول بازه: تعریف، محاسبه و کاربردها
بازه چیست؟ دستهبندی و نمایش
در ریاضیات، بازه به مجموعهای از اعداد حقیقی گفته میشود که بین دو عدد ثابت قرار دارند. این دو عدد، کرانهای بازه نامیده میشوند. بسته به اینکه کرانها جزو بازه باشند یا نه، با انواع مختلفی از بازهها روبرو هستیم. درک این تفاوتها برای محاسبهٔ صحیح طول بازه ضروری است. برای نمایش بازهها از پرانتز ( ) و کروشه [ ] استفاده میکنیم. پرانتز نشاندهندهٔ این است که کران مربوطه در بازه قرار ندارد (بازهٔ باز)، در حالی که کروشه به معنای عضویت کران در بازه است (بازهٔ بسته). ترکیب این دو، بازههای نیمهباز (نیمهبسته) را به ما میدهد. برای مثال، فرض کنید میخواهیم بازهای از اعداد بین $2$ و $5$ را در نظر بگیریم. نمایشهای مختلف آن به صورت زیر خواهد بود:- $[2,5]$ : مجموعه اعداد $2 \le x \le 5$
- $(2,5)$ : مجموعه اعداد $2 \lt x \lt 5$
- $[2,5)$ : مجموعه اعداد $2 \le x \lt 5$
- $(2,5]$ : مجموعه اعداد $2 \lt x \le 5$
روش محاسبه و حل مثال های متنوع
محاسبهٔ طول بازه بسیار ساده است. کافی است عدد سمت چپ (کران پایین) را از عدد سمت راست (کران بالا) کم کنیم. مهم نیست که بازه به چه صورتی نوشته شده باشد، طول آن همواره با این تفاضل به دست میآید. فرض کنید بازه $I = [a, b]$ داده شده باشد. در این صورت:- بازههای ساده با اعداد صحیح: طول بازه $[-2, 3]$ برابر است با $3 - (-2) = 5$. همچنین طول بازه $(-2, 3)$ نیز همین مقدار، یعنی $5$ خواهد بود.
- بازههای شامل اعداد اعشاری: طول بازه $[1.5, 4.75]$ به صورت $4.75 - 1.5 = 3.25$ محاسبه میشود.
- بازههای شامل اعداد منفی: طول بازه $(-10, -5]$ برابر است با $-5 - (-10) = 5$.
- بازههای با کرانهای کسری: طول بازه $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ به صورت $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ به دست میآید.
مقایسه انواع بازه ها از نظر طول و شمولیت
برای درک بهتر تفاوت انواع بازهها و تأثیر آنها بر محاسبات، جدول زیر تهیه شده است. این جدول نشان میدهد که چگونه نوع بازه بر عضویت نقاط تأثیر میگذارد، اما طول همهٔ آنها یکسان است.| نوع بازه | نمایش ریاضی | شرط عضویت | طول بازه (مثال: $a=2, b=5$) |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a,b]$ | $a \le x \le b$ | $5-2 = 3$ |
| باز | $(a,b)$ | $a \lt x \lt b$ | $5-2 = 3$ |
| نیمهباز (چپبسته) | $[a,b)$ | $a \le x \lt b$ | $5-2 = 3$ |
| نیمهباز (راستبسته) | $(a,b]$ | $a \lt x \le b$ | $5-2 = 3$ |
کاربرد طول بازه در مسائل روزمره و علمی
مفهوم طول بازه فراتر از یک تعریف ساده ریاضی، در بسیاری از زمینههای علمی و حتی مسائل روزمره کاربرد دارد. در اینجا به چند نمونهٔ ملموس اشاره میکنیم:- پیشبینی وضع هوا: وقتی هواشناسی اعلام میکند که دمای هوای فردا بین $18$ تا $25$ درجه خواهد بود، در واقع یک بازه $[18, 25]$ را معرفی کرده است. طول این بازه $7$ درجه است و نشاندهندهٔ میزان تغییرات احتمالی دماست. هرچه این طول کمتر باشد، پیشبینی دقیقتر است.
- کنترل کیفیت در کارخانه: یک کارخانه تولید پیچ و مهره، محصولات خود را با یک بازهٔ تلرانس مشخص تولید میکند. برای مثال، طول یک پیچ باید در بازهٔ $[9.8, 10.2]$ میلیمتر باشد. طول این بازه $0.4$ میلیمتر است که نشاندهندهٔ میزان خطای مجاز در فرآیند تولید است.
- تحلیل دادههای آماری: در آمار، محدودهٔ تغییرات (Range) یک مجموعه داده، که از تفاضل بزرگترین و کوچکترین مقدار به دست میآید، در واقع طول بازهای است که همهٔ دادهها در آن قرار دارند. برای مثال، اگر نمرات یک امتحان از $12$ تا $19$ باشد، طول بازهٔ نمرات $7$ خواهد بود که پراکندگی نمرات را نشان میدهد.
بیایید یک مثال عملی دیگر را با هم بررسی کنیم. فرض کنید یک مهندس ترافیک، زمان عبور وسایل نقلیه از یک تقاطع را در ساعات شلوغی روز اندازهگیری میکند. او متوجه میشود که زمان انتظار خودروها در چراغ قرمز بین $45$ ثانیه تا $120$ ثانیه متغیر است. طول این بازه، یعنی $120 - 45 = 75$ ثانیه، اطلاعات مهمی دربارهٔ نوسان ترافیک به او میدهد. یک طول بازهٔ بزرگ نشاندهندهٔ ترافیک ناپایدار و غیرقابل پیشبینی است، در حالی که طول بازهٔ کوچک میتواند نشانهٔ جریان روان و منظم ترافیک باشد. این اطلاعات میتواند در تنظیم بهتر زمانبندی چراغهای راهنمایی مؤثر باشد.
چالشهای مفهومی
❓ اگر دو کران یک بازه با هم برابر باشند، طول آن چقدر است؟
اگر $a=b$ باشد، آنگاه بازه به صورت $[a,a]$ یا $(a,a)$ نوشته میشود. طول بازهای با کرانهای مساوی برابر با $a-a=0$ است. بازهٔ بسته $[a,a]$ فقط عدد $a$ را شامل میشود (یک مجموعهٔ تکی)، در حالی که بازهٔ باز $(a,a)$ مجموعهای تهی است، زیرا هیچ عددی نمیتواند همزمان بزرگتر و کوچکتر از $a$ باشد. اما طول هر دو، صفر محاسبه میشود.
❓ آیا میتوان طول یک بازه را برای بازههای نامتناهی محاسبه کرد؟
خیر. بازههایی مانند $[a, +\infty)$ یا $(-\infty, b]$ طول نامتناهی دارند. در این موارد، مفهوم طول بازه به شکل سنتی $b-a$ قابل تعریف نیست، زیرا کران بالا یا پایین عددی مشخص نیست. این بازهها را "ناتوان" (unbounded) مینامند و طول آنها بینهایت است.
❓ چگونه طول بازه در حل نامعادلات به کار میآید؟
جواب یک نامعادله معمولاً به صورت یک بازه (یا اجتماع چند بازه) نمایش داده میشود. برای مثال، جواب نامعادله $x^2 \le 4$ بازه $[-2, 2]$ است. طول این بازه $4$ است. این طول میتواند در مسائل بهینهسازی یا فیزیک معنی دار باشد. برای نمونه، اگر $x$ نشاندهندهٔ مکان یک ذره روی محور باشد، طول بازه نشان میدهد که این ذره در چه محدودهای از فضا میتواند حرکت کند.
پاورقی
1 بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی که بین دو کران معین قرار میگیرند.
2 کران (Bound): نقاط آغازین و پایانی یک بازه که مرزهای آن را مشخص میکنند.
3 بازهٔ ناتوان (Unbounded Interval): بازهای که حداقل یکی از کرانهای آن بینهایت باشد.
4 محدوده تغییرات (Range): در آمار، به تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار در یک مجموعه داده گفته میشود.
