ریشههای زوج اعداد مثبت: دو راهحل برای یک مسئله
تعریف ریشهٔ nام برای اعداد مثبت
در ریاضیات، ریشهٔ nام عدد a عددی مانند x است که در رابطهٔ xn = a صدق کند. اگر n یک عدد زوج و a > 0 باشد، آنگاه دو عدد حقیقی متمایز این شرط را برآورده میکنند: یکی مثبت و دیگری منفی. دلیل این پدیده به خاصیت زوج بودن توان برمیگردد: هر عدد حقیقی (چه مثبت و چه منفی) که به توان زوج برسد، نتیجه همواره مثبت است.
برای مثال، ریشهٔ دوم (فرجهٔ ۲) عدد ۱۶ را در نظر بگیرید. به دنبال عددی میگردیم که مجذور آن ۱۶ شود:
- (۴)۲ = ۱۶
- (-۴)۲ = ۱۶
بنابراین عدد ۱۶ دو ریشهٔ دوم حقیقی دارد: ۴ و -۴. این قاعده برای تمام فرجههای زوج (مانند ۴، ۶، ۸ و ...) صادق است. به عنوان نمونه دیگر، ریشهٔ چهارم عدد ۸۱ را بررسی میکنیم:
- (۳)۴ = ۸۱
- (-۳)۴ = ۸۱
در اینجا نیز با دو ریشهی متمایز ۳ و -۳ روبرو هستیم.
تفاوت نماد \sqrt[n]{a} با مفهوم جبری ریشه
نکتهای که اغلب باعث سردرگمی دانشآموزان میشود، تفاوت بین نماد رادیکال \sqrt[n]{a} و مجموعهٔ جوابهای معادلهٔ x^{n} = a است. در ریاضیات، نماد \sqrt[n]{a} برای n زوج، تنها ریشهٔ نامنفی (یعنی ریشهٔ اصلی) را نشان میدهد. به عبارت دیگر:
به بیان سادهتر، رادیکال تنها پاسخ مثبت را به ما معرفی میکند، اما مسئلهای که از ما میخواهد عددی را پیدا کنیم که توان زوجاش برابر یک عدد مثبت شود، هر دو پاسخ مثبت و منفی را شامل میشود. این تمایز در حل معادلات بسیار مهم است.
جدول مقایسهای ریشههای زوج و فرد
| ویژگی | فرجهٔ زوج (n زوج) | فرجهٔ فرد (n فرد) |
|---|---|---|
| تعداد ریشههای حقیقی برای a>0 | ۲ عدد (مثبت و منفی) | ۱ عدد (مثبت) |
| علامت ریشهٔ اصلی (\sqrt[n]{a}) | همیشه مثبت | همعلامت با a (اینجا مثبت) |
| مثال با a=۸ و n=۳ (فرد) | — | \sqrt[3]{۸}=۲ |
| مثال با a=۸۱ و n=۴ (زوج) | \sqrt[4]{۸۱}=۳ (ریشهٔ اصلی) و x=\pm ۳ (جوابهای معادله) | — |
کاربرد عملی: حل معادلات درجه دوم و بالاتر
یکی از رایجترین کاربردهای این مفهوم، در حل معادلات تواندار است. فرض کنید میخواهیم معادلهٔ $ x^{۲} = ۲۵ $ را حل کنیم. با توجه به قاعدهای که گفتیم:
اگر این نکته را نادیده بگیریم و فقط پاسخ مثبت را در نظر بگیریم، یکی از جوابهای معادله را از دست دادهایم. به همین ترتیب، در معادلهٔ $ x^{۴} = ۱۶ $ داریم:
این اصل در مسائل هندسی نیز ظاهر میشود. برای مثال، اگر مساحت یک مربع ۲۵ واحد باشد، طول ضلع آن از رابطهٔ x^{۲}=۲۵ به دست میآید. گرچه معادله دو جواب ۵ و -۵ دارد، اما در زمینهٔ هندسی (طول ضلع) فقط جواب مثبت قابل قبول است. اینجا است که باید بین مفهوم ریاضی محض و کاربرد عملی آن تفاوت قائل شویم.
چالشهای مفهومی
این یک قرارداد ریاضی برای حفظ یکتایی تابع \sqrt[n]{x} است. تابع باید برای هر ورودی، فقط یک خروجی داشته باشد. بنابراین ما خروجی غیرمنفی را به عنوان «ریشهٔ اصلی» انتخاب کردهایم. اما در معادلهشناسی، به دنبال همهٔ اعدادی میگردیم که در معادله صدق میکنند، بنابراین هر دو ریشه را در نظر میگیریم.
خیر. اگر a < ۰ و n زوج باشد، در مجموعهٔ اعداد حقیقی هیچ ریشهای وجود ندارد، زیرا توان زوج هر عدد حقیقی هرگز منفی نمیشود. برای مثال، معادلهٔ x^{۲} = -۴ در اعداد حقیقی جواب ندارد. (برای یافتن جواب باید به سراغ اعداد مختلط برویم که خارج از بحث این مقاله است.)
به بافت مسئله توجه کنید. اگر مسئله مربوط به کمیتهای فیزیکی مانند طول، مساحت، زمان یا جرم باشد، معمولاً فقط مقادیر مثبت معنا دارند. اما اگر مسئله صرفاً یک معادلهٔ ریاضی است و قید دیگری ندارد، باید هر دو جواب مثبت و منفی را ارائه دهید.
پاورقیها
۱ریشهٔ اصلی (Principal Root): در ریاضیات، برای فرجههای زوج، ریشهٔ اصلی همان ریشهٔ نامنفی (صفر یا مثبت) است. این قرارداد به ما اجازه میدهد از رادیکال به عنوان یک تابع یکبهیک استفاده کنیم.
۲فرجه (Index): عددی است که روی رادیکال نوشته میشود و نشان میدهد ریشهٔ چندم عدد مورد نظر را محاسبه میکنیم. برای مثال در \sqrt[۳]{۸}، عدد ۳ فرجه است.
۳مجموعهٔ اعداد مختلط (Complex Numbers): تعمیمی از اعداد حقیقی است که شامل واحد موهومی i (با خاصیت i^{۲}=-۱) میشود. در این مجموعه، ریشههای زوج اعداد منفی نیز قابل تعریف هستند.
