قانون جمع توانهای گویا: اثبات و کاربردهای آن
۱. مفهوم توان گویا و تعاریف پایه
پیش از پرداختن به قانون جمع توانها، لازم است بدانیم توان گویا (Rational Exponent) چیست. اگر $a$ یک عدد حقیقی مثبت و $\frac{m}{n}$ یک عدد گویا (با $n \neq 0$) باشد، آنگاه تعریف میکنیم:
این تعریف نشان میدهد که چگونه توان کسری به ریشهگیری مرتبط میشود. شرط $a>0$ برای جلوگیری از حالتهای تعریفنشده (مثلاً ریشههای زوج اعداد منفی) ضروری است. به عنوان مثال:
- $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$
- $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$
- $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$
۲. اثبات قانون جمع توانها برای حالتهای مختلف
قانون $a^{r+s}=a^r \times a^s$ برای اعداد صحیح به سادگی با شمارش تعداد عوامل اثبات میشود. اما برای اعداد گویا نیاز به استدلال دقیقتری داریم. اثبات را در دو گام اصلی بررسی میکنیم:
گام اول: اثبات برای توانهای کسری با مخرج مشترک
فرض کنید $r = \frac{m}{n}$ و $s = \frac{p}{n}$. در این صورت داریم:
از قانون جمع توانهای صحیح میدانیم $a^{m+p} = a^m \times a^p$. بنابراین:
با استفاده از خاصیت ریشهگیری (ریشهی حاصلضرب برابر حاصلضرب ریشهها است)، نتیجه میگیریم:
گام دوم: اثبات برای توانهای کسری با مخرجهای متفاوت
اگر $r = \frac{m}{n}$ و $s = \frac{p}{q}$، ابتدا آنها را با مخرج مشترک $nq$ مینویسیم:
حال با استفاده از نتیجهی گام اول:
۳. مثالهای عینی از کاربرد قانون جمع توانها
درک عمیق این قانون نیازمند مشاهدهی مثالهای متنوع است. در جدول زیر چندین نمونه با مقادیر مختلف برای $r$ و $s$ آورده شده است:
| عبارت | نوشتن به صورت $a^{r+s}$ | نوشتن به صورت $a^r \times a^s$ | نتیجه نهایی |
|---|---|---|---|
| $4^{\frac{1}{2}} \times 4^{\frac{3}{2}}$ | $4^{(\frac{1}{2}+\frac{3}{2})} = 4^{2}$ | $2 \times 8$ | $16$ |
| $9^{\frac{2}{3}} \times 9^{\frac{1}{6}}$ | $9^{(\frac{2}{3}+\frac{1}{6})} = 9^{\frac{5}{6}}$ | $(\sqrt[3]{9})^2 \times \sqrt[6]{9}$ | $\sqrt[6]{9^5} \approx 5.8$ |
| $2^{-\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{4}}$ | $2^{(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4})} = 2^{\frac{1}{4}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt[4]{8}$ | $\sqrt[4]{2} \approx 1.19$ |
| $27^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{2}{3}}$ | $27^{(\frac{1}{3}-\frac{2}{3})} = 27^{-\frac{1}{3}}$ | $3 \times \frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ |
در تمام مثالهای بالا میبینید که چگونه قانون جمع توانها محاسبات را سادهتر میکند. به عنوان نمونه در مثال دوم، به جای محاسبهی جداگانهی $9^{\frac{2}{3}}$ و $9^{\frac{1}{6}}$ و سپس ضرب آنها، میتوانیم به سادگی توانها را جمع کرده و یک عبارت سادهتر به دست آوریم.
۴. کاربرد در سادهسازی عبارات جبری
یکی از مهمترین کاربردهای این قانون، سادهسازی عبارات شامل متغیرها است. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:
با استفاده از قانون جمع توانها:
این تکنیک در حل معادلات نمایی، انتگرالگیری و مشتقگیری در مقاطع بالاتر کاربرد فراوان دارد.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا قانون $a^{r+s}=a^r \times a^s$ برای $a \le 0$ نیز برقرار است؟
پاسخ: خیر، این قانون برای حالتی که $a \le 0$ همواره برقرار نیست. به عنوان مثال، عبارت $(-1)^{\frac{1}{2}} \times (-1)^{\frac{1}{2}}$ در اعداد حقیقی تعریفنشده است (ریشهی دوم عدد منفی)، در حالی که $(-1)^{1} = -1$ است. به همین دلیل شرط $a>0$ برای کار با توانهای گویا الزامی است.
❓ چالش ۲: آیا میتوان قانون جمع توانها را برای اعداد گنگ مانند $\sqrt{2}$ نیز گسترش داد؟
پاسخ: بله، با استفاده از مفهوم حد و پیوستگی توابع نمایی، میتوان این قانون را به اعداد حقیقی (شامل اعداد گنگ) تعمیم داد. به این معنی که اگر $r$ و $s$ اعداد حقیقی دلخواه باشند، باز هم $a^{r+s}=a^r \times a^s$ برقرار است. اثبات آن معمولاً از طریق تقریب زدن $r$ و $s$ با اعداد گویا و استفاده از خاصیت حد انجام میشود.
❓ چالش ۳: چه تفاوتی بین $a^{r} \times a^{s}$ و $(a^{r})^{s}$ وجود دارد؟ آیا این دو یکسان هستند؟
پاسخ: خیر، این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند. اولی قانون جمع توانها و دومی قانون ضرب توانها است. در قانون ضرب داریم $(a^{r})^{s} = a^{r \times s}$. به عنوان مثال، $2^{3} \times 2^{4} = 2^{7} = 128$ است، در حالی که $(2^{3})^{4} = 2^{12} = 4096$. دقت کنید که در جمع توانها، مبنا یکسان است و توانها جمع میشوند، اما در ضرب توانها، توانها در هم ضرب میشوند.
پاورقی
[1] عدد گویا (Rational Number): به عددی گفته میشود که بتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح (مانند $\frac{m}{n}$ با $n \neq 0$) نمایش داد. اعداد کسری و اعداد صحیح زیرمجموعهای از اعداد گویا هستند.
[2] توان گویا (Rational Exponent): روشی برای نمایش ریشهها به صورت توان. طبق تعریف $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
[3] خاصیت ریشهگیری از حاصلضرب (Product Property of Radicals): طبق این خاصیت، ریشهی $n$-ام حاصلضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب ریشهی $n$-ام آن دو عدد: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$.
