بامعنی بودن رادیکال: شرط تعریفپذیری ریشه در اعداد حقیقی
۱. ریشههای زوج: قانون نامنفی بودن
در مجموعه اعداد حقیقی1، عمل جذر گرفتن (فرجه ۲) یا هر فرجه زوج دیگر (۴، ۶، ...) تنها برای اعداد نامنفی تعریف شده است. دلیل آن به مفهوم توان برمیگردد. اگر $ n $ یک عدد زوج باشد، آنگاه $ x^n $ برای هر $ x $ حقیقی، همواره مقداری نامنفی خواهد بود. بنابراین، برای یافتن $ x $ بهگونهای که $ x^n = a $، اگر $ a $ منفی باشد، هیچ $ x $ حقیقیای نمیتواند این معادله را برآورده کند. به عبارت دیگر، $ \sqrt[n]{a} $ در اعداد حقیقی بیمعنا است.
مثال ۱: عبارت $ \sqrt{-4} $ در اعداد حقیقی تعریفنشده است، زیرا هیچ عدد حقیقیای نیست که با توان ۲ به $-4$ برسد. اما $ \sqrt{4} = 2 $ یا $ \sqrt{0} = 0 $ کاملاً معنیدار هستند.
۲. ریشههای فرد: آزادی عمل در علامت
در مقابل ریشههای زوج، ریشههای با فرجه فرد (۳، ۵، ...) برای تمام اعداد حقیقی (اعم از مثبت، منفی و صفر) تعریف میشوند. چون اگر $ n $ فرد باشد، توان $ n $-ام یک عدد منفی، منفی و یک عدد مثبت، مثبت خواهد بود. بنابراین معادله $ x^n = a $ همواره یک جواب حقیقی یکتا دارد.
مثال ۲:$ \sqrt[3]{-8} = -2 $ زیرا $ (-2)^3 = -8 $. همچنین $ \sqrt[5]{32} = 2 $ و $ \sqrt[3]{0} = 0 $.
۳. رادیکال در مخرج: شرط صفر نبودن
قلب تپنده بسیاری از مسائل ریاضی، کسرها هستند. وقتی رادیکال در مخرج کسر ظاهر میشود، علاوه بر شرایط مربوط به فرجه، یک قانون آهنین دیگر هم اضافه میگردد: مخرج کسر هرگز نباید صفر شود. زیرا تقسیم بر صفر در ریاضیات تعریفنشده است. در این حالت، ابتدا دامنه عبارت زیر رادیکال را با توجه به زوج یا فرد بودن فرجه تعیین میکنیم، سپس مقادیری که باعث صفر شدن مخرج میشوند را از دامنه حذف مینماییم.
مثال ۳: عبارت $ \frac{1}{\sqrt{x-1}} $ را در نظر بگیرید. دو شرط برای معنیداری آن داریم:
- ریشه زوج است، پس زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $ x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 $
- مخرج کسر نباید صفر باشد: $ \sqrt{x-1} \neq 0 \Rightarrow x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
با ترکیب این دو شرط، دامنه عبارت $ (1, +\infty) $ خواهد بود. یعنی $ x $ باید اکیداً بزرگتر از $ 1 $ باشد.
۴. کاربرد عملی: تعیین دامنه توابع رادیکالی
مبحث بامعنی بودن رادیکال، کاربرد مستقیم خود را در یافتن دامنه توابع نشان میدهد. دامنه یک تابع، مجموعه مقادیری از متغیر است که تابع برای آنها خروجی حقیقی و معنیدار داشته باشد. برای توابع شامل رادیکال، گامهای زیر را دنبال میکنیم:
- گام اول: بررسی فرجه رادیکال. اگر فرجه زوج است، نامنفی بودن عبارت زیر رادیکال را شرط کنید. اگر فرد است، این گام را نادیده بگیرید.
- گام دوم: اگر رادیکال در مخرج است، شرط مخالف صفر بودن (نامساوی با صفر) را به شرایط اضافه کنید.
- گام سوم: اگر چندین رادیکال یا عبارت جبری دارید، اشتراک تمام شرایط بهدستآمده، دامنه تابع را تشکیل میدهد.
| نوع عبارت | شرط تعریفپذیری | مثال نقض | مثال معنیدار |
|---|---|---|---|
| ریشه زوج ($ \sqrt[4]{x} $) | $ x \ge 0 $ | تعریفنشده برای $ x=-1 $ | معنیدار برای $ x=16 $ |
| ریشه فرد ($ \sqrt[3]{x} $) | $ x \in \mathbb{R} $ | هیچکدام | معنیدار برای $ x=-27 $ |
| ریشه زوج در مخرج ($ \frac{1}{\sqrt{x}} $) | $ x \gt 0 $ (نه مساوی) | تعریفنشده برای $ x=0 $ | معنیدار برای $ x=4 $ |
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. فرجه $4$ زوج است و عدد زیر رادیکال ($-16$) منفی میباشد. هیچ عدد حقیقیای وجود ندارد که با توان چهارم به $-16$ برسد، زیرا توان چهارم هر عدد حقیقی همواره نامنفی است.
پاسخ: سه شرط داریم: $ x \ge 0 $ (صورت)، $ x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 $ (مخرج، به دلیل ریشه زوج) و $ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $ (مخرج صفر نباشد). اشتراک این سه شرط، $ x \gt 3 $ است.
پاسخ: خیر. تساوی صحیح $ \sqrt{x^2} = |x| $ است. اگر $ x=-3 $ باشد، $ \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 $ که برابر $ |-3| = 3 $ است، نه $-3$. فرجه ۲ زوج است و خروجی جذر، همواره مقداری نامنفی (قدر مطلق) خواهد بود.
پاورقیها
1اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد گویا (کسری) و گنگ (با اعشار نامتناهی غیرمتناوب) که روی محور اعداد قرار میگیرند و شامل اعداد مثبت، منفی و صفر میشوند.
2دامنه (Domain): مجموعهای از تمام مقادیر ورودی ممکن (معمولاً $x$) که یک تابع یا عبارت جبری برای آنها تعریف شده و خروجی حقیقی تولید میکند.
