شرط تعریفنشدن کتانژانت: چه زمانی cotθ معنا ندارد؟
۱. از نسبت مثلثاتی تا دایره واحد
تانژانت و کتانژانت دو نسبت مثلثاتی مکمل یکدیگر هستند. اگر زاویۀ θ را در یک مثلث قائمالزاویه در نظر بگیریم، cotθ به صورت ضلع مجاور تقسیم بر ضلع مقابل تعریف میشود. اما برای درک عمیقتر رفتار این تابع، باید به سراغ دایرۀ واحد برویم. روی دایرۀ واحد (دایرهای به شعاع 1)، مختصات نقطۀ متناظر با زاویۀ θ به صورت (cosθ , sinθ) است. از این رو:- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ [1]
۲. ریشهیابی نقاط تعریفنشده روی محورها
معادلۀ sinθ = 0 در بازۀ [0, 2π) دو جواب اصلی دارد: θ = 0 و θ = π. با در نظر گرفتن تناوب تابع سینوس، میتوان گفت کتانژانت برای همۀ مضارب صحیح π (یعنی nπ که n∈ℤ) تعریفنشده است. این نقاط دقیقاً محل برخورد زاویه با محور افقی (محور xها) در دایرۀ واحد هستند .| زاویۀ θ (بر حسب رادیان) | زاویۀ θ (بر حسب درجه) | sinθ | cotθ = cosθ/sinθ | وضعیت |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 | 1/0 | تعریفنشده |
| π/2 | 90° | 1 | 0/1 = 0 | صفر |
| π | 180° | 0 | -1/0 | تعریفنشده |
| 3π/2 | 270° | -1 | 0/(-1) = 0 | صفر |
| 2π | 360° | 0 | 1/0 | تعریفنشده |
۳. کاربرد عملی: حل معادلات و سادهسازی عبارات
یکی از رایجترین کاربردهای این ویژگی در حل معادلات مثلثاتی است. وقتی با معادلهای به شکل cotθ = k مواجه میشویم، باید دقت کنیم که جوابهای نهایی، نقاط تعریفنشده (یعنی θ = nπ) را شامل نشوند. همچنین در سادهسازی عبارتها، اگر به cotθ برخورد کنیم، بلافاصله به یاد میآوریم که این عبارت به ازای مقادیری که سینوس صفر میشود، معنا ندارد.مثال: فرض کنید در حال بررسی حرکت یک جسم روی یک مسیر دایرهای هستیم و زاویۀ مسیر با معادلۀ θ(t) = πt داده شده است. میخواهیم بدانیم در چه زمانهایی تابع cot(θ(t)) تعریفنشده است. کافی است شرط sin(θ(t)) = 0 را حل کنیم:
۴. چالشهای مفهومی
❓ چرا در برخی منابع میگویند cot(π/2)=0 است، اما ماشینحساب خطا نمیدهد؟
این یک نکتۀ ظریف است. همانطور که در جدول دیدیم، در π/2 (یا 90 درجه)، سینوس برابر 1 است، نه صفر. پس شرط تعریفنشدن (سینوس صفر) در این زاویه برقرار نیست و کتانژانت مقدار مشخص 0 را دارد. فقط زوایای 0، π و ... هستند که کتانژانت برای آنها تعریف نمیشود .
❓ آیا میتوان گفت دامنۀ y = cotθ تمام اعداد حقیقی است؟
خیر. دامنۀ این تابع مجموعۀ تمام اعداد حقیقی است، به استثنای آن دسته از زوایایی که sinθ = 0. به عبارت دقیقتر: {θ ∈ ℝ | θ ≠ nπ, n ∈ ℤ}. اگر بخواهیم آن را به صورت بازهای بنویسیم، به صورت اجتماع بازههای توپر خواهد بود: ... ∪ (π, 2π) ∪ (0, π) ∪ (-π, 0) ∪ ... .
❓ رابطۀ cotθ = 1/tanθ چه زمانی گمراهکننده است؟
این رابطه از نظر جبری درست است اما باید دقت کنیم که دامنۀ دو طرف یکسان نیست. تابع tanθ در θ = π/2 + nπ تعریفنشده است، در حالی که cotθ در آن نقاط صفر است. عکس این قضیه هم صادق است: cotθ در nπ تعریفنشده اما tanθ در این نقاط صفر است. استفاده از این رابطه برای محاسبۀ عددی در نقاط تعریفنشده میتواند منجر به خطای «تقسیم بر صفر» شود .
پاورقیها
1نسبتهای مثلثاتی (Trigonometric Ratios): در دایرۀ واحد، این نسبتها به صورت مختصات نقطۀ روی محیط دایره تعریف میشوند. سینوس متناظر با مختصات y و کسینوس متناظر با مختصات x نقطه است. تانژانت و کتانژانت به ترتیب نسبت این دو مختصات به یکدیگر هستند.