رابطهٔ شمارش اجتماع: فرمول n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
? ماجرای آبنبات و شکلات: پایهایترین نگاه
فرض کنید در یک جعبه ۵ آبنبات و در جعبهٔ دیگر ۴ شکلات داریم. اگر همه را در یک ظرف بزرگ بریزیم، چند خوراکی داریم؟ پاسخ ساده: $۵ + ۴ = ۹$. اما اگر یکی از شکلاتها طعم آبنبات داشته باشد و هم در دستهٔ شکلاتها و هم در دستهٔ آبنباتها شمرده شود چه؟ آن خوراکیِ دونفره فقط یک بار در ظرف بزرگ میافتد. پس اگر دو دسته را ساده جمع کنیم، آن عضو مشترک را دوبار حساب کردهایم! برای جبران، یک بار آن را کم میکنیم. به زبان ریاضی:
این همان فرمول طلایی $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ است که با زبان ساده یاد گرفتیم.
? هندسهٔ فرمول: چرا منها کنیم؟ (نیمنگاه تصویری)
مجموعهها را به شکل دو دایرهٔ همپوشان در نظر بگیرید. ناحیهٔ $A$ و ناحیهٔ $B$ را رنگ کنید. قسمت قاطی (اشتراک) دوبار رنگ میخورد. برای اینکه فقط ناحیهٔ رنگشدهٔ یکباره را بشماریم، باید یک لایه رنگ را از اشتراک پاک کنیم. پس: $A \cup B$ یعنی همهٔ نقاطی که دستکم در یکی از دو دایره هستند. شمارش بدون دوبارهشماری نیاز به فرمول بالا دارد.
? یک میزگرد کوچک: وقتی آمار به کمک فرمول میآید
در یک نظرسنجی از دانشآموزان کلاس هشتم، پرسیدیم: «فوتبال بازی میکنی؟» و «والیبال بازی میکنی؟». $n(F)=۱۲$، $n(V)=۱۵$ و $n(F \cap V)=۵$. تعداد دانشآموزانی که دستکم یکی از دو رشته را بازی میکنند:
اگر ساده جمع میکردیم میگفتیم $۲۷$ نفر، در حالی که $۵$ نفر دو بار شمرده شده بودند. این یعنی $۲۲$ نفر ورزشکار داریم.
| موقعیت | n(A) | n(B) | n(A∩B) | n(A∪B) |
|---|---|---|---|---|
| خوراکیها | ۵ | ۴ | ۱ | ۸ |
| ورزش مدرسه | ۱۲ | ۱۵ | ۵ | ۲۲ |
| کتابخانهٔ کلاسی | ۲۰ | ۱۰ | ۳ | ۲۷ |
? گسترش به سه مجموعه؛ قدم اول به دبیرستان
حالا سه مجموعه $A, B, C$ را در نظر بگیرید. اصل شمول و عدم شمول [۲] برای سه مجموعه به این شکل است:
چرا دوباره جمع میشود؟ چون قسمت اشتراک سهگانه ابتدا سه بار اضافه، سپس سه بار کم شده است؛ یعنی اصلاً حذف شده! برای جبران باید یک بار آن را برگردانیم. این فرمول در المپیادهای علمی و مسابقات ریاضی بسیار پرکاربرد است.
? کاربرد واقعی: انتخاب رشته و برنامهٔ هفتگی
تصور کنید در یک مدرسهٔ متوسطهٔ دورهٔ اول، $۴۰$ دانشآموز در کلاس زبان فرانسه و $۳۰$ نفر در کلاس زبان آلمانی ثبتنام کردهاند. $۱۵$ نفر هم در هر دو کلاس هستند. اگر مدیر مدرسه بخواهد بداند چه تعداد دانشآموز دستکم در یکی از این دو کلاس شرکت میکنند تا سالن مناسبتری تدارک ببیند، از رابطهٔ اجتماع استفاده میکند: $۴۰ + ۳۰ – ۱۵ = ۵۵$. همچنین میتواند تعداد دانشآموزانی که تنها فرانسه میروند ( $۲۵$ نفر) و تنها آلمانی میروند ( $۱۵$ نفر) را محاسبه کند. این اطلاعات به توزیع عادلانهٔ منابع کمک شایانی میکند.
⚠️ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❓ پرسش ۱ – چرا گاهی فکر میکنیم فرمول اشتباه است؟
✏️ پاسخ: وقتی اشتراک دو مجموعه صفر باشد (مجموعههای جدا) فرمول به جمع ساده تبدیل میشود. برخی دانشآموزان گمان میکنند همیشه باید چیزی کم کنیم. مثال: اگر در کلاس، هیچکس هم فوتبالیست هم والیبالیست نباشد، $n(F \cap V)=۰$ و جواب همان $n(F)+n(V)$ است.
❓ پرسش ۲ – آیا فرمول فقط برای مجموعههای عددی است؟
✏️ پاسخ: خیر؛ هر چیزی که بتوان آن را به عنوان «عضو» در نظر گرفت. مثل: دانشآموزان، کتابها، شهرها، رنگها و … . این فرمول یک قانون انتزاعی در نظریهٔ مجموعههاست.
❓ پرسش ۳ – اشتباه «دوبار شماری» چیست؟
✏️ پاسخ: اگر هنگام شمردن اعضای دو مجموعه، اعضای مشترک را برای هر دو مجموعه بشماریم، دو بار محاسبه شدهاند. فرمول اجتماع با کم کردن اشتراک، این دوبار شماری را اصلاح میکند.
? پاورقی
[۱] عناصر تکراری (Common elements): اعضایی که هم در مجموعهٔ اول و هم در مجموعهٔ دوم حضور دارند. معادل انگلیسی: Common elements / Intersection members.
[۲] اصل شمول و عدم شمول (Principle of Inclusion–Exclusion): قاعدهای در ترکیبیات که برای شمارش اعضای اجتماع مجموعهها بهکار میرود و با اضافه و کم کردن متوالی اشتراکها، شمارش دقیق را ممکن میسازد.
[۳] مجموعهٔ متناهی (Finite set): مجموعهای که تعداد اعضای آن قابل شمارش و عددی مشخص باشد؛ مانند دانشآموزان یک کلاس.
