مجموعه تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد و با ∅ نمایش داده می‌شود

به ساده‌ترین زبان: مجموعه تهی یک جعبهٔ کاملاً خالی است؛ جعبه‌ای که در آن حتی یک شیء، عدد یا حرف هم وجود ندارد. ریاضی‌دانان برای این «جعبهٔ خالی» نماد مخصوصی گذاشته‌اند: $ \emptyset $ یا $\varnothing$. این نماد برگرفته از حرف Ø در الفبای دانمارکی و نروژی است. آندره وایل، ریاضی‌دان شهیر، آن را در دههٔ ۱۹۳۰ برای نشان دادن تهی‌بودگی به کار برد. مجموعه تهی را با { } (آکولاد خالی) هم نشان می‌دهند.

مثال: مجموعهٔ دانش‌آموزان کلاسی که هنوز هیچ دانش‌آموزی در آن ثبت‌نام نکرده است، یک مجموعهٔ تهی است. مجموعهٔ سیارات سنگی منظومهٔ شمسی که قمر دارند و نامشان با «ز» شروع می‌شود: چنین سیاره‌ای وجود ندارد، پس مجموعه تهی است.

مجموعهٔ تهی تنها مجموعه‌ای است که:

1. زیرمجموعهٔ هر مجموعه‌ای است: یعنی ∅ ⊆ A برای هر مجموعهٔ A. حتی اگر A هم تهی باشد. چون برای رد این ادعا باید عضوی پیدا کنیم که در ∅ باشد ولی در A نباشد، چنین عضوی وجود ندارد!
2. اجتماع با هر مجموعه، آن مجموعه را تغییر نمی‌دهد:$A \cup \emptyset = A$
3. اشتراک با هر مجموعه، تهی می‌شود:$A \cap \emptyset = \emptyset$

برای دانش‌آموز سال هفتم: اگر شما یک سبد میوه دارید و آن را با سبد خالی یکی کنید، همان سبد میوهٔ خودتان را دارید. اگر بخواهید میوه‌های مشترک بین سبد خود و سبد خالی را بردارید، چیزی گیرتان نمی‌آید.

? خرید فرض کنید مادر از شما خواسته از سوپرمارکت «تنها خوراکی‌هایی را بخرید که هم شیرین‌اند، هم شور، هم کالری ندارند و هم قرمز رنگ هستند.» چنین خوراکی وجود ندارد. مجموعهٔ اقلام مورد نظر = ∅. پس دست‌خالی برمی‌گردید.

? برنامه‌نویسی در پایتون، مجموعهٔ تهی را با set() می‌سازیم. اگر بر روی یک لیست خالی از کاربران، حلقهٔ پیمایش بزنیم، هیچ کاری انجام نمی‌شود. این همان کاربرد تهی در الگوریتم‌هاست.

? آمار اگر در نظرسنجی بپرسیم «چه کسانی هم چای سرد دوست دارند هم چای داغ؟» پاسخ‌دهنده‌ای وجود ندارد. مجموعهٔ این افراد تهی است. این یعنی هیچ هم‌پوشانی بین دو گروه نیست.

❓ آیا مجموعهٔ تهی همان عدد صفر است؟

خیر. عدد صفر یک عدد حقیقی است و می‌توان آن را در مجموعه گذاشت. {$0$} یک مجموعهٔ یک‌عضوی است. مجموعهٔ تهی یک شیء ریاضی است که هیچ عضوی ندارد. تفاوت میان ∅ و {$0$} همانند تفاوت میان یک جعبهٔ کاملاً خالی و جعبه‌ای است که یک برگهٔ سفید با عدد صفر درون آن قرار دارد.

❓ آیا مجموعهٔ تهی زیرمجموعهٔ خودش است؟

بله. هر مجموعه زیرمجموعهٔ خودش است، بنابراین ∅ ⊆ ∅ همیشه برقرار است. حتی مجموعهٔ تهی، زیرمجموعهٔ مجموعهٔ تهی است.

❓ چند مجموعهٔ تهی داریم؟

فقط یک مجموعهٔ تهی وجود دارد. اگر دو مجموعه هر دو هیچ عضوی نداشته باشند، از نظر ریاضی دقیقاً یکی هستند (برابرند). پس تنها یک «هیچ» در دنیای مجموعه‌ها داریم.

❓ آیا مجموعهٔ {∅} همان ∅ است؟

خیر. {∅} مجموعه‌ای است که یک عضو دارد و آن عضو مجموعهٔ تهی است. پس {∅} یک جعبه در جعبه است. ∅ تهی است، اما {∅} یک جعبه دارد که درون آن جعبهٔ خالی قرار دارد. بنابراین {∅} با ∅ متفاوت است.

مجموعهٔ تهی در جبر مجموعه‌ها مانند عدد صفر در جبر اعداد عمل می‌کند، اما نه دقیقاً شبیه آن. این اتحادها را دانش‌آموزان دبیرستانی در درس ریاضی گسسته می‌آموزند:

• خاصیت همانی (Identity): $A \cup \emptyset = A$ و $A \cap U = A$ (U مجموعهٔ مرجع)
• خاصیت پوچ‌سازی (Domination): $A \cap \emptyset = \emptyset$
• متمم تهی: متمم مجموعهٔ تهی در یک جهان (مجموعهٔ مرجع) خود مجموعهٔ مرجع است: $\emptyset^c = U$
• مجموعهٔ توانی (Power Set): مجموعهٔ توانیِ $\emptyset$ برابر با $\{\emptyset\}$ است و دارای 1 عضو.

? جمع‌بندی:

مجموعهٔ تهی (∅) تنها مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد. این مجموعه در ریاضیات پایه‌ای‌ترین شیء برای ساخت اعداد طبیعی است. زیرمجموعهٔ همهٔ مجموعه‌هاست و در عملیات‌هایی مانند اشتراک نقش جذب‌کننده و در اجتماع نقش خنثی دارد. با وجود سادگی، درک تفاوت میان ∅ و {∅} یکی از چالش‌های شیرین ریاضی برای دانش‌آموزان است. دفعهٔ بعد که کیفتان را کاملاً خالی کردید، به یاد داشته باشید که یک «مجموعهٔ تهی» در دست دارید!

^[1] مجموعهٔ تهی (Empty Set): تنها مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد. نماد آن برگرفته از حرف Ø در الفبای دانمارکی-نروژی است.

^[2] آندره وایل (André Weil): ریاضی‌دان فرانسوی و از اعضای مؤسس گروه بورباکی که نماد ∅ را رواج داد.

^[3] مجموعهٔ توانی (Power Set): مجموعهٔ تمام زیرمجموعه‌های یک مجموعه. برای مجموعهٔ تهی، توانی برابر {∅} است.

^[4] جبر بول (Boolean Algebra): ساختاری جبری با عملگرهای اجتماع، اشتراک و متمم که مجموعهٔ تهی در آن نقش صفر را دارد.

^[5] ددکیند (Richard Dedekind): ریاضی‌دان آلمانی که با استفاده از مجموعهٔ تهی اعداد طبیعی را به طور صوری تعریف کرد.