ریشه دوم عددی که مربع کامل نیست.

کشف دنیای ریشه دوم: وقتی اعداد مربع کامل نیستند

ریشه دوم چیست و چه زمانی یک عدد مربع کامل نیست؟

فرض کنید یک زمین مربع‌شکل به مساحت 16 متر مربع دارید. برای پیدا کردن طول هر ضلع این زمین، باید بپرسید: «کدام عدد در خودش ضرب شود، حاصل 16 می‌شود؟» پاسخ 4 است، زیرا $4 \times 4 = 16$. به این عدد، ریشه دوم$\sqrt{16}$ می‌گویند. اما اگر زمینی به مساحت 20 متر مربع داشته باشید چه؟ آیا عددی وجود دارد که در خودش ضرب شود و دقیقاً 20 شود؟ خیر. در این حالت، عدد 20 یک مربع کامل نیست و ریشه دوم آن یک عدد صحیح نیست.

اعداد مربع کامل، حاصل ضرب یک عدد صحیح در خودش هستند. مانند: 1 ($1 \times 1$), 4, 9, 16, 25, 36 و ... . ریشه دوم این اعداد، یک عدد صحیح و دقیق است. اما اگر عددی مانند 2, 3, 5, 7, 8, 10 و ... را در نظر بگیرید، هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که در خودش ضرب شود و حاصل آن‌ها شود. به این اعداد، اعداد غیر مربع کامل می‌گوییم.

ریشه دوم این اعداد کجا قرار دارد؟ بین دو عدد صحیح!

ریشه دوم یک عدد غیر مربع کامل، یک عدد اعشاری است که بین دو عدد صحیح متوالی قرار می‌گیرد. برای مثال، بیایید ریشه دوم 2 را بررسی کنیم. می‌دانیم که:

$1 \times 1 = 1$ و $2 \times 2 = 4$.

پس ریشه دوم 2 باید بین 1 و 2 باشد. با محاسبات دقیق‌تر می‌توان فهمید که $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$. این عدد هیچ‌گاه به صورت یک کسر ساده (عدد گویا^۳) درنمی‌آید و اعشار آن تا بی‌نهایت ادامه دارد بدون آنکه تکراری شود. به چنین اعدادی اعداد گنگ^۴ می‌گویند.

چگونه ریشه دوم این اعداد را تخمین بزنیم؟

برای محاسبه ریشه دوم اعداد غیر مربع کامل، روش‌های مختلفی وجود دارد. ساده‌ترین روش، تخمین با استفاده از اعداد نزدیک است.

مثال: می‌خواهیم ریشه دوم 10 را پیدا کنیم. می‌دانیم $\sqrt{9} = 3$ و $\sqrt{16} = 4$. پس $\sqrt{10}$ بین 3 و 4 است. عدد 10 به 9 نزدیک‌تر است تا 16. پس می‌توان حدس زد که جواب کمی بیشتر از 3.1 است. با آزمایش: $3.1 \times 3.1 = 9.61$ (کمتر از 10). $3.2 \times 3.2 = 10.24$ (بیشتر از 10). پس نتیجه می‌گیریم $\sqrt{10}$ بین 3.1 و 3.2 است. برای دقت بیشتر، $3.16 \times 3.16 = 9.9856$ که بسیار نزدیک به 10 است.

کاربردهای ریشه دوم اعداد غیر مربع کامل در زندگی

شاید فکر کنید این اعداد فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارند، اما در واقعیت، آن‌ها همه‌جا هستند!

مثال ۱: ساخت و ساز - اگر بخواهید یک میز تلویزیون مربع‌شکل با مساحت 2 متر مربع بسازید، طول هر ضلع آن باید $\sqrt{2}$ متر باشد که تقریباً برابر 1.414 متر است. نجار برای برش چوب به این اندازه، از همین مفهوم استفاده می‌کند.

مثال ۲: صفحه‌نمایش گوشی - اندازه قطر صفحه‌نمایش گوشی‌های هوشمند با استفاده از قضیه فیثاغورث و ریشه دوم محاسبه می‌شود. اگر طول صفحه 6 سانتی‌متر و عرض آن 4 سانتی‌متر باشد، قطر آن $\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ سانتی‌متر است. $\sqrt{52}$ یک عدد غیر مربع کامل و تقریباً برابر 7.211 سانتی‌متر است.

مثال ۳: محاسبه فاصله - اگر دوست شما در فاصله 3 متری شرق و 4 متری شمال شما ایستاده باشد، فاصله مستقیم شما از او $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ متر است. اما اگر در فاصله 2 متری شرق و 3 متری شمال شما باشد، فاصله مستقیم $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ متر می‌شود که یک عدد غیر مربع کامل (حدود 3.606 متر) است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱ریشه دوم (Square Root): عمل معکوس به توان دو رساندن یک عدد.

^۲مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد صحیح در خودش باشد.

^۳عدد گویا (Rational Number): عددی که بتوان آن را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نوشت، که در آن a و b اعداد صحیح و b \neq 0 باشد.

^۴عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نتوان آن را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نوشت و اعشار آن بی‌نهایت و غیر تکراری است.