با فرض $B=\left[ \begin{matrix}4 & 3  \\ 2 & 1  \\\end{matrix} \right]$، $C=\left[ \begin{matrix}5 & 2  \\3 & 1  \\\end{matrix} \right]$ و $D=\left[ \begin{matrix}3 & 0  \\-1 & 2  \\\end{matrix} \right]$، معادلهٔ مفروض سؤال به صورت $BAC=D$ خواهد بود. برای یافتن ماتریس $A$، طرفین این معادله را از راست در ${{C}^{-1}}$ و از چپ در ${{B}^{-1}}$ ضرب می‌کنیم:

$\Rightarrow ({{B}^{-1}}B)A(C{{C}^{-1}})={{B}^{-1}}D{{C}^{-1}}$ 

$\Rightarrow IAI={{B}^{-1}}D{{C}^{-1}}$

$\xrightarrow{IA=AI=A}A={{B}^{-1}}D{{C}^{-1}}$ 

$C=\left[ \begin{matrix}5 & 2  \\3 & 1  \\\end{matrix} \right]\Rightarrow {{C}^{-1}}=\frac{1}{5-6}\left[ \begin{matrix}1 & -2  \\-3 & 5  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-1 & 2  \\ 3 & -5  \\\end{matrix} \right]$ 

$B=\left[ \begin{matrix}4 & 3  \\ 2 & 1  \\\end{matrix} \right]\Rightarrow {{B}^{-1}}=\frac{1}{4-6}\left[ \begin{matrix} 1 & -3  \\ -2 & 4  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-\frac{1}{2} & \frac{3}{2}  \\ 1 & -2  \\\end{matrix} \right]$ 

$\Rightarrow A=\left[ \begin{matrix}\frac{-1}{2} & \frac{3}{2}  \\ 1 & -2  \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 3 & 0  \\ -1 & 2  \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}-1 & 2  \\3 & -5  \\\end{matrix} \right]$ 

$\Rightarrow A=\left[ \begin{matrix}-3 & 3  \\ ... & ...  \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}-1 & 2  \\ 3 & -5  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}12 & -21  \\ ... & ...  \\\end{matrix} \right]$