فرض کنیم ${a_n}$ دنباله حسابی باشد. با توجه به فرضیات مسئله سه جمله متوالی دنباله هندسی به صورت زیر است:
$\sqrt {{a_1} + d} ,\sqrt {{a_1} + 8d} ,\sqrt {{a_1} + 15d} $
جمله وسط، واسطه هندسی دو جمله دیگر میباشد، یعنی
$\eqalign{
& ({\sqrt {{a_1} + 8d)} ^2} = \sqrt {{a_1} + d} \times \sqrt {{a_1} + 15d} \Rightarrow {a_1} + 8d = \sqrt {{a_1} + d} \times \sqrt {{a_1} + 15d} \cr
& \Rightarrow {({a_1} + 8d)^2} = (\sqrt {{a_1} + d} \times {\sqrt {{a_1} + 15d)} ^2} \cr
& \Rightarrow a_1^2 + 64{d^2} + 16{a_1}d = ({a_1} + d)({a_1} + 15d) = a_1^2 + 16{a_1}d + 15{d^2} \cr
& \Rightarrow 64{d^2} = 15{d^2} \cr
& \Rightarrow {d^2} = 0 \Rightarrow d = 0 \cr} $
یعنی سه جمله متوالی دنباله هندسی به صورت $\sqrt {{a_1}} ,\sqrt {{a_1}} ,\sqrt {{a_1}} $ میباشد و لذا نسبت مشترک این دنباله برابر 1 است.
هاشم مروانی 
