قضیهٔ نیمسازهای داخلی: تقسیم متناسب ضلع مقابل

قضیهٔ نیمسازهای داخلی: تقسیم متناسب ضلع مقابل

قضیه‌ای ساده با کاربردهای بزرگ

فرض کنید یک کیک مثلثی دارید و می‌خواهید آن را از رأس به گونه‌ای برش بزنید که برش دقیقاً از وسط زاویه رد شود. این برش، نیمساز¹ زاویه است. حال سؤال اینجاست: این برش، ضلع مقابل کیک (که مثلاً پایهٔ کیک است) را چگونه تقسیم می‌کند؟ قضیه نیمساز داخلی دقیقاً به این سؤال پاسخ می‌دهد.

به طور رسمی، در مثلث $\triangle ABC$، اگر پاره خط $AD$، نیمساز زاویه $\angle A$ باشد (یعنی $\angle BAD = \angle CAD$)، آنگاه این نیمساز ضلع $BC$ را در نقطه‌ای مانند $D$ قطع می‌کند و بین طول پاره خط‌های ایجاد شده و دو ضلع دیگر رابطه‌ای برقرار می‌شود.

اثبات گام‌به‌گام و شهودی قضیه

برای درک عمیق هر قاعدهٔ ریاضی، بهترین راه دنبال کردن اثبات آن است. بیایید با هم مراحل اثبات این قضیه را با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی یا رسم خطوط کمکی دنبال کنیم. در اینجا از روش مساحت استفاده می‌کنیم که بسیار گویاست.

1. در مثلث $\triangle ABC$، نیمساز $AD$ را رسم می‌کنیم. این نیمساز ضلع $BC$ را در نقطه $D$ قطع می‌دهد.
2. از نقطه $D$، عمودهایی را بر ضلع‌های $AB$ و $AC$ رسم می‌کنیم. پاره‌خط $DE$ بر $AB$ عمود و $DF$ بر $AC$ عمود است ($E$ روی $AB$ و $F$ روی $AC$).
3. چون $AD$ نیمساز است، فاصله نقطه $D$ از دو ضلع $AB$ و $AC$ برابر است. بنابراین $DE = DF$.
4. حالا مساحت مثلث‌های $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ را حساب می‌کنیم. ارتفاع این دو مثلث در قاعده‌های $AB$ و $AC$، به ترتیب $DF$ و $DE$ هستند که با هم برابرند.
   $\frac{\text{مساحت }\triangle ABD}{\text{مساحت }\triangle ACD} = \frac{\frac{1}{2} \times AB \times DF}{\frac{1}{2} \times AC \times DE} = \frac{AB}{AC}$
5. از طرف دیگر، اگر $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ را با قاعده‌های $BD$ و $DC$ در نظر بگیریم، ارتفاع مشترک آن‌ها از نقطه $A$ بر $BC$ است. پس نسبت مساحت‌ها برابر است با:
   $\frac{\text{مساحت }\triangle ABD}{\text{مساحت }\triangle ACD} = \frac{BD}{DC}$
6. از دو رابطه بالا نتیجه می‌گیریم: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ و اثبات کامل می‌شود.

نقش قضیه نیمساز در حل مسئله

این قضیه ابزاری کارآمد برای پیدا کردن طول پاره‌خط‌های ناشناخته در مثلث است. بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم.

مثال ۱ (مسئله‌ای از کتاب درسی): در مثلث $\triangle ABC$، $AB = 6$ سانتی‌متر، $AC = 9$ سانتی‌متر و نیمساز زاویه $A$، ضلع $BC$ را در نقطه $D$ قطع می‌کند. اگر $BD = 4$ سانتی‌متر باشد، طول $DC$ را بیابید.

از کلاس درس تا دنیای واقعی

شاید فکر کنید این قضیه فقط برای حل تمرینات کتاب کاربرد دارد. اما نمونه‌های زیادی از کاربرد آن در اطراف ما وجود دارد.

مثال عینی ۱ (نورپردازی و بازتاب): قانون بازتاب نور می‌گوید زاویه تابش برابر زاویه بازتاب است. اگر یک پرتو نور از نقطه‌ای روی یک آینه تخت به نقطه‌ای دیگر برخورد و بازتاب شود، مسیر رفت و برگشت پرتو نور با خط عمود بر آینه، دو زاویه مساوی می‌سازند. اگر این وضعیت را در یک فضای مثلثی در نظر بگیریم، می‌توان از مفهوم نیمساز برای محاسبه فاصله‌ها استفاده کرد. برای مثال، طراحی چراغ‌های سالن‌ها گاه بر اساس چنین محاسباتی انجام می‌شود تا نور به طور متعادل پخش شود.

مثال عینی ۲ (نقشه‌برداری و تقسیم زمین): فرض کنید یک زمین کشاورزی به شکل مثلث دارید و می‌خواهید از رأس آن یک راه دسترسی به ضلع مقابل احداث کنید به طوری که زمین‌های دو طرف این راه با توجه به طول حاشیه‌های مجاور، سهم مساوی از آب یک چاه در آن رأس داشته باشند. نقطه شروع مناسب برای این راه، دقیقاً جایی است که نیمساز زاویه رأس، ضلع مقابل را قطع می‌کند! چون نسبت فاصله‌ها برابر با نسبت طول حاشیه‌ها خواهد بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹نیمساز (Angle Bisector): خط، پرتو یا پاره‌خطی که یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم کند.

²قضیه تالس (Thales' Theorem): اگر دو خط موازی، دو خط متقاطع را قطع کنند، پاره‌خط‌هایی که روی خطوط متقاطع ایجاد می‌شوند با هم متناسب اند.