قضیه سینوسها: نسبت جادویی در مثلثها
ریشهها و بیان ریاضی قضیه
قضیه سینوسها برای هر مثلث دلخواه (قائمزاویه، متساویالساقین یا مختلفالاضلاع) صادق است. فرض کنید مثلثی با رئوس A، B و C داریم. اضلاع مقابل این رئوس را به ترتیب a، b و c مینامیم. در این صورت، قضیه به صورت زیر بیان میشود:
$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R$
در این رابطه، R شعاع دایرهای است که مثلث را احاطه کرده است (دایرهٔ محیطی1). این عدد ثابت، همان نسبت جادویی است.
این تساوی به ما میگوید اگر طول ضلع a را بر سینوس زاویهٔ A تقسیم کنیم، حاصل با تقسیم طول ضلع b بر سینوس زاویهٔ B و همچنین با تقسیم c بر سینوس C یکسان است. این مقدار ثابت، برابر با دو برابر شعاع دایرهای است که مثلث در آن محاط است.
چگونه و چه وقت از قضیه استفاده کنیم؟
قضیه سینوسها معمولاً در دو حالت کلی به کار میرود:
| شرایط معلوم | هدف (یافتن) | نمونه موقعیت | وضعیت |
|---|---|---|---|
| یک ضلع و دو زاویه (AAS یا ASA)2 | اضلاع مجهول | محاسبه فاصله یک قایق از ساحل با اندازهگیری دو زاویه از دو نقطه | اصلیترین کاربرد |
| دو ضلع و یک زاویه غیر بین آنها (SSA)3 | زاویه یا ضلع مجهول دیگر | تعیین زاویه انحراف یک پهپاد پس از طی دو مسیر مشخص | احتمال دو جواب (ابهام) |
| همه زوایا و یک ضلع | شعاع دایره محیطی | محاسبه اندازه دایره ای که یک زمین مثلثی شکل را در بر میگیرد | کاربرد خاص |
بیایید حالت اول را با یک مثال ساده بررسی کنیم. تصور کنید از نقطهای روی ساحل (A) به یک فانوس دریایی (C) نگاه میکنید و زاویهٔ دید شما 30° است. سپس 100 متر در امتداد ساحل قدم میزنید تا به نقطه B برسید. حالا زاویهٔ دید شما به فانوس 45° است. میخواهیم فاصلهٔ فانوس از ساحل (عمود بر خط ساحل) را پیدا کنیم.
ابتدا زاویهٔ رأس فانوس (C) را محاسبه میکنیم: $\angle C = 180° - (30° + 45°) = 105°$. حال با استفاده از قضیه سینوسها برای ضلع AB (به طول 100 متر که مقابل C قرار دارد) و ضلع مجهول BC (که مقابل زاویه 30° است) داریم:
$\frac{BC}{\sin(30°)} = \frac{100}{\sin(105°)}$ → $BC = \frac{100 \times \sin(30°)}{\sin(105°)}$
با محاسبه مقدار سینوسها و حل معادله، طول BC بهدست میآید که فاصلهٔ فانوس از نقطه B است. سپس با یک رابطه ساده مثلثاتی، فاصله عمودی از ساحل محاسبه میشود.
از کلاس درس تا آسمانخراش: کاربردهای ملموس
شاید فکر کنید این فرمول فقط در کتابهای ریاضی کاربرد دارد. اما اشتباه نکنید! نقشهبرداران برای تعیین مرزهای زمینهای بزرگ مثلثیشکل از این قضیه استفاده میکنند. مهندسان عمران برای محاسبه طول تیرهای نگهدارنده در پلهای مایل یا داربستهای مثلثی شکل، به آن نیاز دارند.
یک مثال ساده: فرض کنید میخواهید ارتفاع یک درخت بلند را بدون بالا رفتن از آن اندازه بگیرید. از نقطهای در فاصله معینی از درخت (A)، زاویهٔ بین خط دید به نوک درخت و زمین را اندازه میگیرید (مثلاً 40°). سپس کمی به سمت درخت حرکت میکنید تا نقطه B و دوباره همان زاویه را اندازه میگیرید (مثلاً 60°). حالا با دانستن فاصله بین دو نقطه A و B و با استفاده از قضیه سینوسها در مثلثی که رأس آن نوک درخت است، میتوانید فاصله نوک درخت تا هر یک از نقاط و در نهایت ارتفاع درخت را محاسبه کنید.
حتی در نجوم نیز برای تخمین فاصلههای نسبی اجرام آسمانی نزدیک از روشهای مبتنی بر همین اصول هندسی استفاده میشود.
نکات ظریف و خطاهای پرتکرار
در استفاده از این قضیه، باید به چند نکته مهم توجه کنید تا دچار اشتباه نشوید.
پاسخ: خیر، مستقیماً خیر. برای محاسبه مساحت مثلث معمولاً از فرمولهای دیگری مانند $\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$ یا فرمولی که شامل سینوس زاویه بین دو ضلع است ($\frac{1}{2}ab\sin(C)$) استفاده میشود. البته ممکن است از قضیه سینوسها برای یافتن اجزای لازم در آن فرمولها کمک بگیریم.
پاسخ: وقتی دو ضلع و زاویه مقابل یکی از آن دو ضلع (نه زاویه بین آنها) را داشته باشیم (حالت SSA)، ممکن است مثلثی با آن مشخصات اصلاً وجود نداشته باشد، دقیقاً یک مثلث وجود داشته باشد، یا حتی دو مثلث متفاوت بتوان ساخت که در شرایط داده شده صدق کنند. این به دلیل خاصیت تناوبی تابع سینوس است. بنابراین در این حالت باید خیلی مراقب بود و شرایط مسئله را به دقت بررسی کرد.
پاسخ: خیر، اصل قضیه برابری سه نسبت است. شما میتوانید هر نسبتی را با هر نسبت دیگری برابر قرار دهید. معمولاً دو نسبتی را که شامل مجهول و معلوم هستند، برابر میگذاریم تا معادله تشکیل شود. مثلاً اگر ضلع a و زاویههای B و C معلوم باشند، مینویسیم: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$. البته باید حواستان باشد که ضلع و زاویهٔ مقابلش با هم در یک نسبت باشند.
پاورقی
1 دایره محیطی (Circumcircle): دایرهای که از هر سه رأس یک مثلث میگذرد.
2 AAS (Angle-Angle-Side): دو زاویه و ضلع غیر مشترک بین آنها. ASA (Angle-Side-Angle): دو زاویه و ضلع بین آنها. هر دو در اینجا یکسان عمل میکنند.
3 SSA (Side-Side-Angle): دو ضلع و زاویه مقابل یکی از آن دو ضلع. این حالت به حالت «ابهامدار» معروف است.
