مماس مشترک خارجی: دو دایره در یک طرف مماس‌اند.

بروزرسانی شده در: 18:20 1404/10/14 مشاهده: 7 دسته بندی: کپسول آموزشی

مماس مشترک خارجی: زمانی که دو دایره در یک طرف خط مماس قرار می‌گیرند

از هندسه در کوهنوردی تا طراحی چرخ‌دنده‌ها؛ کشف خطوطی که دو دایره را بدون عبور از بینشان لمس می‌کنند.

خلاصه: مماس[1] مشترک خارجی، خطی است که دقیقاً دو دایره را در دو نقطهٔ مختلف لمس می‌کند و هر دو دایره در یک سمت این خط قرار دارند. این مفهوم هندسی نه تنها در حل مسائل ریاضی پایه یازدهم کاربرد دارد، بلکه در دنیای واقعی مانند طراحی سیستم‌های تسمه و پولی[2] یا حتی ترسیم مسیرهای حرکت دیده می‌شود. در این مقاله، به زبان ساده با تعریف، شرط وجود، روش رسم و محاسبهٔ طول این نوع مماس آشنا خواهیم شد و آن را با مثال‌های ملموس بررسی می‌کنیم.

مماس مشترک چیست و به چند نوع تقسیم می‌شود؟

وقتی از یک خط در هندسه صحبت می‌کنیم که بر یک دایره مماس است، یعنی آن خط دایره را فقط در یک نقطه قطع (یا بهتر است بگوییم لمس) می‌کند. حالا فرض کنید دو دایره داریم. اگر خطی بتواند بر هر دو دایره مماس باشد، به آن مماس مشترک[3] می‌گوییم. مماس‌های مشترک بسته به موقعیت نسبی دو دایره و موقعیت خود خط، به دو دستهٔ اصلی تقسیم می‌شوند:

نوع مماس مشترک	شرح و ویژگی	موقعیت دو دایره نسبت به خط
مماس مشترک خارجی	هر دو دایره در یک سمت خط مماس قرار می‌گیرند. خط از فضای بین دو دایره عبور نمی‌کند.	یک سمت خط
مماس مشترک داخلی[4]	دو دایره در دو سمت مختلف خط مماس قرار می‌گیرند. خط از فضای بین دو دایره عبور می‌کند.	دو سمت مختلف خط

در این مقاله، تمرکز ما بر روی مماس مشترک خارجی است. برای درک بهتر، فرض کنید دو دایره مانند دو چرخ در کنار هم روی زمین قرار دارند. یک خطکش بلند را طوری روی آن‌ها بگذارید که از بیرون با هر دو چرخ تماس داشته باشد اما بین آن‌ها فرو نرود. این خط، یک مماس مشترک خارجی است.

شرط وجود و روش محاسبهٔ طول مماس مشترک خارجی

برای اینکه دو دایره اصلاً مماس مشترک خارجی داشته باشند، باید یا از هم فاصله داشته باشند یا در یک نقطه با هم مماس خارجی باشند. اگر دو دایره هم‌پوشانی کنند یا یکی داخل دیگری باشد، نمی‌توان برای آن‌ها مماس مشترک خارجی رسم کرد. فرمول محاسبهٔ طول پاره‌خط بین دو نقطهٔ تماس روی یک مماس مشترک خارجی، از رابطهٔ جالبی به دست می‌آید.

فرمول کلیدی: اگر دو دایره با شعاع‌های $ r_1 $ و $ r_2 $ (با فرض $ r_1 \geq r_2 $) و فاصلهٔ بین مراکزشان برابر $ d $ باشد، آنگاه طول یک مماس مشترک خارجی (پاره‌خط بین دو نقطهٔ تماس) از رابطه زیر به دست می‌آید:
$ L_{خارجی} = \sqrt{ d^2 - (r_1 - r_2)^2 } $

چطور این فرمول به دست آمد؟ با یک ترسیم هندسی ساده. دو دایره با مراکز $ O_1 $ و $ O_2 $ را در نظر بگیرید. از مرکز دایرهٔ کوچک‌تر ($ O_2 $) خطی موازی با خط مماس رسم می‌کنیم تا شعاع دایره بزرگ‌تر ($ O_1A $) را در نقطه‌ای قطع کند. یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود که وتر آن فاصلهٔ دو مرکز ($ d $) است و یکی از اضلاع آن برابر اختلاف دو شعاع $ (r_1 - r_2) $. با استفاده از قضیه فیثاغورث، ضلع دیگر که همان طول مماس مشترک خارجی است، به دست می‌آید.

از تئوری تا عمل: مماس خارجی در زندگی روزمره

شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارند، اما نمونه‌های جالب آن در اطراف ما زیاد است:

مثال ۱: سیستم تسمه و پولی (چرخ تسمه) در موتور بسیاری از دستگاه‌ها مانند خودروهای قدیمی یا دستگاه‌های کارگاهی، برای انتقال نیرو از موتور به یک قطعهٔ دیگر از چرخ‌تسمه و تسمه استفاده می‌شود. اگر دو پولی را به عنوان دو دایره در نظر بگیریم، تسمه‌ای که آن‌ها را به هم وصل می‌کند، در بخش‌هایی دقیقاً نقش یک مماس مشترک خارجی را بازی می‌کند. محاسبهٔ طول این بخش از تسمه برای ساخت دقیق آن ضروری است.

مثال ۲: مسیریابی و نقشه‌برداری تصور کنید دو روستا در دو طرف یک تپه قرار دارند. برای کشیدن یک جادهٔ مستقیم که هر دو روستا را به نزدیک‌ترین شهر وصل کند (بدون عبور از بین تپه)، مهندسین گاهی از ایده‌های مشابه مماس خارجی استفاده می‌کنند تا کوتاه‌ترین و به‌صرفه‌ترین مسیر را طراحی کنند.

مثال ۳: طراحی و هنر در طراحی لوگو، معماری یا حتی طراحی جواهرات، ایجاد ارتباط هموار و مماس بین اشکال دایره‌ای یک اصل زیبایی‌شناختی مهم است. آگاهی از نحوهٔ رسم این خطوط مماس، به طراح کمک می‌کند تا اثر منسجم‌تری خلق کند.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سؤال ۱: آیا برای دو دایره‌ای که از هم فاصله دارند، همیشه دو خط مماس مشترک خارجی وجود دارد؟
پاسخ: بله. برای دو دایره‌ای که کاملاً از هم جدا هستند (هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند و یکی داخل دیگری نیست)، دقیقاً دو خط مماس مشترک خارجی می‌توان رسم کرد. این دو خط متقارن هستند.

سؤال ۲: یک اشتباه رایج در استفاده از فرمول طول مماس مشترک خارجی چیست؟
پاسخ: اشتباه رایج، استفاده از جمع شعاع‌ها به جای تفاضل شعاع‌ها در فرمول است. دقت کنید:
$ L_{خارجی} = \sqrt{ d^2 - (r_1 - r_2)^2 } $ ✓ (تفاضل)
$ L_{خارجی} \neq \sqrt{ d^2 - (r_1 + r_2)^2 } $ ✗ (این فرمول برای مماس داخلی است).

سؤال ۳: اگر دو دایره هم‌مرکز باشند ($ d = 0 $)، آیا مماس مشترک خارجی دارند؟
پاسخ: خیر. وقتی دو دایره هم‌مرکز باشند، هیچ خط مماس مشترک خارجی وجود ندارد. زیرا هر خطی که بر دایرهٔ بیرونی مماس باشد، یا دایرهٔ داخلی را قطع می‌کند یا اصلاً به آن نمی‌رسد. شرط وجود مماس خارجی این است که دو دایره در یک سمت خط قرار گیرند که در حالت هم‌مرکزی ممکن نیست.

جمع‌بندی: مماس مشترک خارجی خطی است که دو دایره را لمس می‌کند و هر دو دایره در یک سمت آن قرار دارند. شرط وجود آن، عدم هم‌پوشانی دو دایره است. طول آن با فرمول $ L = \sqrt{ d^2 - (r_1 - r_2)^2 } $ محاسبه می‌شود. این مفهوم هندسی انتزاعی نیست و کاربردهای عملی در مهندسی مکانیک (تسمه و پولی)، نقشه‌برداری و طراحی دارد. با درک صحیح این موضوع و پرهیز از اشتباه رایج در فرمول (استفاده از تفاضل به جای جمع شعاع‌ها)، می‌توانید مسائل مربوطه را به راحتی حل کنید.

پاورقی

¹ مماس (Tangent): خطی که یک منحنی (مانند دایره) را دقیقاً در یک نقطه لمس کند، بدون اینکه از آن عبور کند.
² پولی (Pulley): یک چرخ‌دنده یا چرخ با محور ثابت که معمولاً برای انتقال نیرو به کمک یک تسمه یا طناب به کار می‌رود.
³ مماس مشترک (Common Tangent): خطی که همزمان بر دو منحنی (در اینجا دو دایره) مماس باشد.
⁴ مماس مشترک داخلی (Internal Common Tangent): خط مماس مشترکی که دو دایره را در دو سمت مختلف خود قرار دهد.

مماس مشترک مماس خارجی هندسه دایره کاربرد هندسه ریاضی یازدهم

پایهٔ یازدهم هندسه یازدهم مماس مشترک خارجی

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!