زاویهای که رأسش درون دایره است: دیدار دو وتر و اندازهگیری جادویی کمانها
مفاهیم پایه: وتر، کمان و زاویهی محاطی
قبل از پرداختن به زاویه با رأس درون دایره، باید چند مفهوم کلیدی را مرور کنیم تا مبنا درستی داشته باشیم:
| مفهوم | تعریف | نماد/نمونه |
|---|---|---|
| وتر1 | پارهخطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل میکند. | قطر بزرگترین وتر است. |
| کمان | بخشی از محیط دایره بین دو نقطه. | با نماد ⌒ نشان داده میشود، مثل کمان AB. |
| زاویهی محاطی2 | زاویهای که رأسش روی محیط دایره و اضلاعش دو وتر هستند. اندازهاش نصف کمان روبهروست. | $ \angle ACB $ در شکلهای معمول. |
| زاویه با رأس درون دایره | زاویهای که رأسش داخل دایره و اضلاعش دو وتر متقاطع هستند. | موضوع اصلی این مقاله. |
صورتبندی و بیان قضیه به زبان ریاضی
حالا نوبت به بیان دقیق رابطه میرسد. فرض کنید دو وتر $ \overline{AB} $ و $ \overline{CD} $ در نقطهی $ P $ که درون دایره است، یکدیگر را قطع کنند. این تقاطع یک زاویه ایجاد میکند (مثلاً $ \angle APC $ یا زاویهی روبهرو به آن).
فرمول: اگر وترها در نقطهی $ P $ متقاطع شوند و کمانهای روبروی زاویهی $ \angle APD $ (یا $ \angle 1 $) را به ترتیب $ \overset{\huge\frown}{AC} $ و $ \overset{\huge\frown}{BD} $ در نظر بگیریم، داریم:
گامبهگام به سوی اثبات: استفاده از زاویهی محاطی
اثبات این قضیه زیبا و مستقیم است و بر پایهی قضیهی زاویهی محاطی (که از قبل بلدید) بنا میشود. تصور کنید دو وتر $ AB $ و $ CD $ در نقطهی درونی $ P $ قطع شدهاند. میخواهیم ثابت کنیم $ m\angle 1 = \frac{1}{2}(m\overset{\huge\frown}{AC} + m\overset{\huge\frown}{BD}) $.
گام اول: یک پارهخط کمکی رسم میکنیم: وتر $ \overline{AD} $. این وتر، مثلث $ \triangle APD $ را کامل میکند.
گام دوم: توجه کنید که $ \angle 1 $ در مثلث $ \triangle APD $ یک زاویهی خارجی است. میدانیم زاویهی خارجی برابر مجموع دو زاویهی داخلی غیرمجاورش است. پس: $ m\angle 1 = m\angle PAD + m\angle PDA $
گام سوم: حالا به زاویههای $ \angle PAD $ و $ \angle PDA $ نگاه کنید. هر دوی اینها زاویههای محاطی هستند! $ \angle PAD $ روی کمان $ \overset{\huge\frown}{BD} $ و $ \angle PDA $ روی کمان $ \overset{\huge\frown}{AC} $ قرار دارد.
گام چهارم: از قضیه زاویه محاطی استفاده میکنیم: $ m\angle PAD = \frac{1}{2} m\overset{\huge\frown}{BD} $ و $ m\angle PDA = \frac{1}{2} m\overset{\huge\frown}{AC} $
گام پنجم (جمعبندی): حالا این دو رابطه را در فرمول گام دوم جایگزین میکنیم:
از صفحه کتاب تا چرخ فلک: یک مثال کاربردی
فرض کنید یک طراح شهربازی میخواهد زاویهی بین دو کابل حمایتکنندهی یک سبد چرخوفلک را محاسبه کند. این دو کابل (که نقش وتر را دارند) از یک نقطهی میانی روی محور مرکزی (رأس زاویه درون دایره) به دو نقطهی مختلف روی چرخ (محیط دایره) متصل هستند. اگر اندازهی کمان بین دو نقطهی اتصال کابلها روی چرخ مشخص باشد (مثلاً از روی نقشه سازه)، طراح میتواند به راحتی و بدون اندازهگیری مستقیم زاویه (که ممکن است سخت باشد)، زاویهی بین دو کابل را پیدا کند. کافی است کمان دیگر (کمان مقابل زاویه) را نیز محاسبه یا اندازهگیری کند، سپس نصف مجموع این دو کمان، زاویهی مورد نظر را به او میدهد.
مثال عددی: در یک دایره، دو وتر $ AB $ و $ CD $ در نقطهی $ P $ درون دایره قطع میشوند. اگر اندازه کمان $ \overset{\huge\frown}{AC} = 80^\circ $ و کمان $ \overset{\huge\frown}{BD} = 40^\circ $ باشد، اندازهی $ \angle APD $ چقدر است؟
پاسخ: 60°
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، اما به شکل خاص. اگر رأس زاویه در مرکز دایره باشد، آن زاویه «زاویه مرکزی» است و اندازه آن دقیقاً برابر کمان روبروست. از طرفی، وقتی رأس در مرکز باشد، هر دو کمان مقابل زاویه و مقابل زاویه مجاور عملاً یکی هستند (یا مجموعشان ۳۶۰ درجه). اگر فرمول خود را در این حالت خاص امتحان کنید، به نتیجه یکسان میرسید، اما معمولاً این حالت را بهعنوان یک قضیه جداگانه (زاویه مرکزی) یاد میگیریم.
پاسخ: بزرگترین اشتباه، اشتباه گرفتن کمانها است. دانشآموزان گاهی کمان روبروی زاویه را با کمانی که بین اضلاع زاویه قرار گرفته، اشتباه میگیرند. به یاد داشته باشید: در فرمول $ m\angle 1 = \frac{1}{2}(m\overset{\huge\frown}{AC} + m\overset{\huge\frown}{BD}) $، کمانهای $ AC $ و $ BD $، کمانهایی هستند که روی زاویه باز نمیشوند، بلکه در مقابل آن قرار دارند. همیشه شکل را با دقت بکشید و کمانها را نامگذاری کنید.
پاسخ: خیر. اگر رأس روی محیط باشد، با زاویه محاطی مواجه هستیم که قضیه جداگانهای دارد: اندازه زاویه محاطی برابر با نصف کمان روبرو است ($ m\angle = \frac{1}{2} m\overset{\huge\frown}{AC} $). توجه به موقعیت دقیق رأس زاویه (داخل، روی یا خارج دایره) برای انتخاب قضیه صحیح بسیار مهم است.
- زاویه با رأس درون دایره از تقاطع دو وتر در داخل دایره ایجاد میشود.
- اندازه این زاویه برابر است با نصف مجموع اندازههای دو کمان روبرو (یعنی کمانهایی که بین اضلاع زاویه قرار ندارند).
- اثبات آن بر پایهی قضیه زاویه خارجی مثلث و قضیه زاویه محاطی استوار است.
- این قضیه در حل مسائل هندسی مربوط به دایره، به ویژه وقتی اندازه کمانها معلوم باشد، بسیار کاربرد دارد.
- مراقب باشید موقعیت رأس زاویه را تشخیص دهید تا قضیه مناسب (محاطی، مرکزی، با رأس درون یا خارج دایره) را به کار ببرید.
پاورقی
1وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل میکند.
2زاویه محاطی (Inscribed Angle): زاویهای که رأس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و ضلعهای آن دو وتر از دایره هستند. اندازه آن نصف کمان روبرو است.
3کمان (Arc): بخشی از محیط دایره که بین دو نقطه مشخص قرار گرفته است.
