زاویه با رأس بیرون دایره: نصف تفاضل کمان‌ها

زاویه‌ای که رأسش بیرون از دایره است

شناسایی زاویه با رأس بیرون دایره

پیش از هر چیز، باید بدانیم دقیقاً از چه شکلی صحبت می‌کنیم. یک دایره داریم. یک نقطه در خارج از این دایره انتخاب می‌کنیم (مثلاً نقطه‌ی $ P $). از این نقطه، دو خط رسم می‌کنیم که هر کدام دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند (این خطوط را قاطع² می‌نامیم). این دو قاطع، یک زاویه می‌سازند که رأس آن همان نقطه‌ی خارجی است. به این زاویه، زاویه با رأس خارج از دایره یا زاویه خارجی می‌گویند.

فرمول و اثبات گام‌به‌گام

فرض کنید نقطه‌ی $ P $ خارج از دایره است. دو قاطع $ PA $ و $ PC $ را رسم می‌کنیم که دایره را به ترتیب در نقاط $ A, B $ و $ C, D $ قطع می‌کنند. زاویه‌ی $ \angle APC $ (یا $ \angle P $) را در نظر بگیرید.

دو کمان مهم داریم: کمان $ \widehat{AC} $ که دور از زاویه است و کمان $ \widehat{BD} $ که بین دو ضلع زاویه قرار دارد (کمان نزدیک‌تر).

اثبات:

گام ۱: یک وتر³ کمکی رسم می‌کنیم. نقطه‌ی $ B $ را به $ C $ وصل می‌کنیم. حالا مثلث $ \triangle PBC $ را در نظر بگیرید.

گام ۲: $ \angle P $ قسمتی از این مثلث است. می‌دانیم که در هر مثلث، یک زاویه‌ی خارجی برابر است با مجموع دو زاویه‌ی داخلی غیرمجاورش. زاویه‌ی $ \angle ABC $ یک زاویه‌ی خارجی برای مثلث $ \triangle PBC $ است. پس داریم:

$ \angle ABC = \angle P + \angle PCB $

بنابراین: $ \angle P = \angle ABC - \angle PCB $

گام ۳: حالا به رابطه‌ی زاویه‌ی محیطی توجه کنید. هر دو زاویه‌ی $ \angle ABC $ و $ \angle PCB $، زاویه‌های محیطی هستند که هر کدام به یک کمان نظیر دارند.

• $ \angle ABC $ نظیر کمان $ \widehat{AC} $ است. پس $ \angle ABC = \frac{1}{2} \widehat{AC} $.
• $ \angle PCB $ (یا همان $ \angle BCD $) نظیر کمان $ \widehat{BD} $ است. پس $ \angle PCB = \frac{1}{2} \widehat{BD} $.

گام ۴: حالا مقادیر به‌دست‌آمده را در رابطه‌ی مرحله‌ی ۲ قرار می‌دهیم:

$ \angle P = \frac{1}{2} \widehat{AC} - \frac{1}{2} \widehat{BD} = \frac{1}{2} (\widehat{AC} - \widehat{BD}) $

و اثبات کامل می‌شود. این رابطه نشان می‌دهد که برای محاسبه‌ی زاویه، نیازی به دانستن مختصات یا فاصله‌ها نیست، فقط کافی است اندازه‌ی دو کمان را بدانیم.

کاربرد در دنیای واقعی: طراحی و نجوم

شاید فکر کنید این یک فرمول صرفاً ریاضی است، اما نمونه‌هایی از کاربرد آن را می‌توان یافت:

مثال ۱: طراحی پنجره‌های دایره‌ای (رزاس)⁴ در برخی ساختمان‌های قدیمی یا کلیساها، پنجره‌های بزرگ دایره‌ای با تزئینات سنگ و شیشه وجود دارد. طراحان برای تقسیم‌بندی متقارن و زیبای این پنجره‌ها و تعیین زوایای بین تیرهای حائل، از اصول هندسه‌ی دایره استفاده می‌کردند. اگر تیری از مرکز دایره عبور نکند و دو نقطه از محیط را به هم وصل کند، زوایای مربوطه را می‌توان با این قضیه بررسی کرد.

مثال ۲: نجوم ساده فرض کنید شما در نقطه‌ی $ P $ (کره‌ی زمین) ایستاده‌اید و به دو ستاره‌ی دور در آسمان نگاه می‌کنید. دایره‌ای فرضی به نام دایره‌البروج⁵ داریم که مسیر ظاهری خورشید در آسمان است. اگر بتوانید موقعیت دو ستاره را روی این دایره‌ی فرضی مشخص کنید، زاویه‌ای که بین خطوط دید شما به این دو ستاره تشکیل می‌شود (که رأسش در زمین است)، تقریباً از همین رابطه پیروی می‌کند. البته این یک تشبیه ساده برای درک مفهوم است.

مثال ۳: زمین‌های ورزشی خطوط محدوده‌ی بازی در زمین‌های دایره‌ای (مثل وسط زمین فوتبال یا بخش‌هایی از زمین هاکی) را در نظر بگیرید. اگر داور در نقطه‌ای خارج از دایره بایستد و زاویه‌ی دیدش به دو بازیکن روی محیط دایره را بسنجد، به نوعی با این مفهوم سر و کار دارد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹زاویه خارج مرکزی (Exterior Angle of a Circle): به زاویه‌ای گفته می‌شود که رأس آن در خارج از دایره قرار دارد و ضلع‌هایش قاطع دایره هستند.
²قاطع (Secant): خطی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.
³وتر (Chord): پاره‌خطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل می‌کند.
⁴رزاس (Rose Window): پنجره‌های بزرگ دایره‌ای و تزئین‌شده، معمولاً در معماری گوتیک.
⁵دایره‌البروج (Ecliptic): مدار ظاهری سالانهٔ خورشید بر روی کرهٔ سماوی.
⁶مماس (Tangent): خطی که دایره را دقیقاً در یک نقطه لمس می‌کند و بر شعاع در نقطهٔ تماس عمود است.