طول کمان: کشف ارتباط جالب کمان و محیط دایره
کمان دایره چیست؟ از پیتزا تا چرخ دندهها
اگر دور یک دایره کامل بچرخید، مسیر بستهای را طی کردهاید که محیط۲ دایره نام دارد. حالا فرض کنید فقط بخشی از این مسیر را بردارید؛ مثلاً یک تکه از یک حلقهی دایرهشکل یا مسیری که نوک عقربهی ساعت از عدد ۱۲ تا عدد ۳ طی میکند. به این بخش از محیط دایره، کمان میگوییم. کمانها را معمولاً با دو نقطه روی دایره نشان میدهند، مثلاً کمان AB.
در زندگی روزمره با نمونههای زیادی از کمان مواجهیم:
- لبهٔ بیرونی یک تکه پیتزا.
- مسیر خمیدهٔ یک پل که روی رودخانه ساخته شده است.
- شیارهای روی یک دیسک یا چرخدنده.
- مسیر حرکت یک آدمک روی چرخوفلک.
| مفهوم | تعریف | نماد/فرمول | مثال ملموس |
|---|---|---|---|
| محیط دایره (C) | طول خط منحنی بستهای که دایره را میسازد. | $ C = 2\pi r $ | کل لبهٔ بیرونی یک بشقاب گرد. |
| کمان (Arc) | بخشی از محیط دایره که بین دو نقطه قرار گرفته است. | کمان AB یا $ \widehat{AB} $ | لبهٔ یک برش کیک. |
| زاویه مرکزی۳ ($ \theta $) | زاویهای که رأس آن در مرکز دایره است و دو ضلع آن نقاط انتهایی کمان را به مرکز وصل میکنند. | $ \theta $ (بر حسب درجه یا رادیان) | زاویه باز شدهای که یک تکه پیتزا در مرجع پیتزا ایجاد میکند. |
رابطهٔ طلایی: کمان، محیط و زاویه مرکزی
حال به قلب مطلب میرسیم. فرض کنید دایرهای به شعاع $ r $ داریم. محیط این دایره برابر است با $ C = 2\pi r $.
دایره کامل، زاویهای به اندازهی ۳۶۰ درجه یا $ 2\pi $ رادیان را پوشش میدهد. کمان، کسری از محیط کل است که متناسب با کسری از زاویه کامل (۳۶۰ درجه) است که زاویه مرکزی آن میپوشاند.
اگر زاویه مرکزی برابر $ \theta $ درجه باشد، طول کمان متناظر ($ L $) از رابطه زیر به دست میآید:
مثال ۱ (پیتزا): یک پیتزای کامل به شعاع ۳۰ سانتیمتر را در نظر بگیرید. اگر یک تکه پیتزا زاویه مرکزی ۶۰ درجه داشته باشد، طول لبهٔ خمیده (کمان) آن چقدر است؟
ابتدا محیط کل پیتزا را محاسبه میکنیم: $ C = 2 \times \pi \times 30 \approx 188.5 $ سانتیمتر.
حال کسر مربوطه را محاسبه میکنیم: ۶۰/۳۶۰ = ۱/۶.
بنابراین طول کمان: $ L = \frac{1}{6} \times 188.5 \approx 31.42 $ سانتیمتر.
محاسبه طول کمان در دنیای واقعی: از مسیر دوچرخه تا طراحی سازه
این مفهوم در بسیاری از زمینههای عملی کاربرد دارد. تصور کنید شهرداری قصد دارد یک مسیر دوچرخهسواری دایرهوار در یک پارک بسازد. اگر قرار باشد فقط یک بخش ۱۲۰ درجهای از این دایره ساخته شود، چگونه طول مورد نیاز آسفالت را محاسبه کنند؟ کافی است شعاع دایره طرح را اندازه بگیرند و از فرمول بالا استفاده کنند.
مثال ۲ (ساعت آفتابی): در یک ساعت آفتابی ساده، سایهی یک میله در طول روز روی یک صفحهی مدرج دایرهای حرکت میکند. اگر این صفحه به ۳۶۰ بخش مساوی (هر درجه یک بخش) تقسیم شده باشد، فاصلهی خطی بین علامت ساعت ۱۲ ظهر و ساعت ۳ بعدازظهر (زاویه مرکزی ۹۰ درجه) چقدر است؟ اگر شعاع صفحه ۵۰ سانتیمتر باشد: $ L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 50 = \frac{1}{4} \times 314.16 \approx 78.54 $ سانتیمتر.
این محاسبه به سازنده کمک میکند تا جای دقیق علامتها را روی صفحه بچیند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، همیشه. کمان کوتاهترین مسیر بین دو نقطه روی دایره نیست، بلکه مسیر منحنی است. خط راست (وتر) همواره از کمان متناظر خود کوتاهتر است. این را میتوان به سادگی با یک نخ و کشیدن آن بین دو نقطه روی لبه یک سکه آزمایش کرد.
پاسخ: استفاده از رادیان حتی سادهتر است! در این حالت، طول کمان مستقیماً از ضرب شعاع در زاویه مرکزی بر حسب رادیان به دست میآید: $ L = r \times \theta_{\text{(رادیان)}} $. زیرا در تعریف رادیان، این نسبت مستقیم وجود دارد. مثلاً اگر زاویه $ \pi/3 $ رادیان و شعاع ۹ سانتیمتر باشد: $ L = 9 \times (\pi/3) = 3\pi \approx 9.42 $ سانتیمتر.
پاسخ: رایجترین اشتباه، فراموش کردن ضرب در کل محیط دایره است. برخی دانشآموزان فقط کسر $ \frac{\theta}{360} $ را محاسبه میکنند و آن را به عنوان پاسخ نهایی مینویسند، در حالی که این فقط نسبت است و باید در $ 2\pi r $ ضرب شود. همیشه مطمئن شوید پاسخ شما یک «طول» با واحد صحیح (مانند سانتیمتر) است.
پاورقی
۱ کمان (Arc): بخشی از محیط یک دایره یا منحنی.
۲ محیط (Circumference): اندازهٔ دور یک دایره.
۳ زاویه مرکزی (Central Angle): زاویهای که رأس آن در مرکز دایره قرار دارد.
۴ رادیان (Radian): یکایی برای اندازهگیری زاویه که بر اساس طول کمان تعریف میشود. در یک دایره، زاویهای که طول کمان برابر شعاع داشته باشد، یک رادیان است.
