رسم مماس از نقطه خارج دایره: به کمک دایره کمکی
اصول اولیه: مماس چیست و چرا به دایره کمکی نیاز داریم؟
یک خط مماس[1] بر یک دایره، خطی است که دقیقاً در یک نقطه به دایره برخورد میکند. اگر از مرکز دایره به آن نقطهی تماس[2] خطی رسم کنیم، این خط عمود[3] بر خط مماس خواهد بود. این مهمترین ویژگی خط مماس است.
حالا فرض کنید یک دایره داریم و یک نقطهی P در بیرون آن. از این نقطه میتوان دو خط مماس بر دایره رسم کرد. سؤال اصلی این است: این خطها را چگونه و با چه ابزاری میتوان یافت؟
اینجاست که دایرهی کمکی به کمک ما میآید. ایده این است: اگر پارهخط OP را به عنوان قطر یک دایرهی جدید در نظر بگیریم، هر نقطه از محیط این دایرهی جدید (مثل T) را به نقاط O و P وصل کنیم، زاویهی OTP همیشه قائمه خواهد بود (طبق قضیهی تالس[5]). حالا اگر نقطهی T دقیقاً روی دایره اصلی ما هم باشد، آنوقت خط PT دقیقاً همان خط مماس مطلوب ماست! زیرا شرط عمود بودن شعاع بر خط را برقرار میکند.
مراحل گامبهگام رسم مماس با روش دایره کمکی
برای درک بهتر، این مراحل را با دقت و به ترتیب انجام دهید. تنها ابزار مورد نیاز، پرگار و خطکش است.
| گام | عمل | توضیح و نکته |
|---|---|---|
| 1 | شناسایی دایره اصلی و نقطه خارجی | دایرهای با مرکز O و نقطهی خارج از آن به نام P را مشخص کنید. |
| 2 | رسم پاره خط $ \overline{OP} $ | مرکز دایره را به نقطه خارجی با خطکش وصل کنید. |
| 3 | یافتن وسط پاره خط (نقطه M) | با استفاده از روش نیمساز عمود یا اندازهگیری، وسط OP را پیدا و آن را M نامگذاری کنید. |
| 4 | رسم دایره کمکی | پرگار را روی نقطه M قرار داده و به اندازه $ \overline{MO} $ (یا $ \overline{MP} $) شعاع دهید و دایرهای جدید بکشید. این دایره از O و P میگذرد و OP قطر آن است. |
| 5 | تعیین نقاط تلاقی (نقاط تماس) | دایره کمکی در دو نقطه، دایره اصلی را قطع میکند. این نقاط را T1 و T2 بنامید. اینها همان نقاط تماس مماسها با دایره اصلی هستند. |
| 6 | رسم خطوط مماس نهایی | خطکش را روی نقطه P و نقطه T1 قرار دهید و خط بکشید. سپس همین کار را برای P و T2 تکرار کنید. خطوط $ PT_1 $ و $ PT_2 $ دو مماس مطلوب هستند. |
به دلیل قضیه تالس، در دایرهای که OP قطر آن است، زاویهی رأس T1 (یا T2) که روبروی این قطر قرار گرفته، قائمه است. پس $ OT_1 \perp PT_1 $ برقرار است و شرط مماس بودن تأمین میشود.
کاربردهای عملی در دنیای اطراف ما
شاید فکر کنید رسم مماس فقط یک تمرین هندسی است، اما کاربردهای آن را میتوان در زندگی روزمره دید. برای مثال، یک دوچرخهسوار را در نظر بگیرید که میخواهد از یک مسیر مستقیم به یک مسیر دایرهوار (مثل یک پیچ جاده یا یک میدان) وارد شود. بهترین و نرمترین مسیر ورود، در امتداد یک خط مماس بر آن دایره است. این کار از ترمزگیری ناگهانی و تغییر جهت شدید جلوگیری میکند.
در طراحی مسیرهای ریلی یا اتوبانها نیز برای اتصال یک خط مستقیم به یک قوس دایرهای، از منحنیهایی استفاده میشود که در نقطهی اتصال، مماس بر هر دو بخش هستند تا وسیلهی نقلیه با کمترین ضربه و بیشترین ایمنی تغییر مسیر دهد. حتی در طراحی چرخدندهها، فرم دندانهها طوری است که در نقطهی تماس، بر دایرهی گام[6] یکدیگر مماس باشند تا انتقال نیرو به نرمی انجام شود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، شرط اصلی این روش خارج بودن نقطه P از دایره است. اگر نقطه روی دایره باشد، فقط یک مماس وجود دارد که رسم آن سادهتر است (شعاع را در آن نقطه عمود میکنیم). اگر نقطه داخل دایره باشد، هیچ خط مماسی از آن نقطه به دایره نمیتوان رسم کرد. خطی که از یک نقطه داخل دایره بگذرد، حتماً دایره را در دو نقطه قطع میکند (وتر[7] است).
پاسخ: این اتفاق تنها در یک حالت میافتد: وقتی فاصلهی نقطه P از مرکز دایره O آنقدر زیاد باشد که دایرهی به قطر OP اصلاً با دایره اصلی برخوردی نداشته باشد. در این صورت از نقطه P بر دایره اصلی مماس خارجی وجود ندارد (هر خط از P دایره را در دو نقطه قطع میکند). در واقع، دایره کمکی باید دایره اصلی را قطع کند تا نقاط تماس T به دست آیند.
پاسخ: زیرا در هندسه، مرکز هر دایرهای، وسط هر قطر آن است. ما میخواهیم دایرهای داشته باشیم که پاره خط OP قطر آن باشد. پس ناچاریم وسط این پاره خط را به عنوان مرکز دایره جدید انتخاب کنیم تا فاصلهی آن تا نقاط O و P برابر (شعاع) باشد.
پاورقی
[1] مماس (Tangent): خطی که در یک نقطه یک منحنی (مانند دایره) را لمس میکند، بدون آن که از آن بگذرد.
[2] نقطه تماس (Point of Tangency): نقطهای که خط مماس و منحنی (دایره) در آن با هم تماس دارند.
[3] عمود (Perpendicular): دو خط که با هم زاویه ۹۰ درجه (قائمه) میسازند.
[4] شعاع (Radius): پارهخطی که مرکز دایره را به یک نقطه روی محیط آن وصل میکند.
[5] قضیه تالس (Thales' Theorem): در یک دایره، اگر یک ضلع مثلث، قطر دایره باشد، آنگاه زاویه مقابل آن ضلع، زاویهی قائمه است.
[6] دایره گام (Pitch Circle): در چرخدنده، دایرهای فرضی که چرخدندهها گویی بر روی آن میغلتد و نقطهی تماس دندانهها روی آن است.
[7] وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل کند.
