نسبت تشابه: نسبت ضلعهای متناظر در دو شکل متشابه
آشنایی اولیه: شکلهای همشکل یا متشابه چیستند؟
فرض کنید یک عکس دارید و آن را در تلفن همراه خود زوم میکنید. اندازهٔ عکس بزرگتر میشود، اما جزئیات و شکل کلی آن تغییر نمیکند. به چنین رابطهای بین شکل اصلی و شکل بزرگشده، تشابه[2] میگوییم. دو شکل متشابه، همشکل هستند اما لزوماً هماندازه نیستند. شرط اصلی تشابه دو چندضلعی این است: ۱- اندازهٔ زاویههای متناظر آنها با هم برابر باشد. ۲- طول ضلعهای متناظر آنها با یک نسبت ثابت تغییر کند. این نسبت ثابت، همان نسبت تشابه است.
مثال ساده: دو مثلث متساویالاضلاع را در نظر بگیرید. یکی با ضلع ۳ سانتیمتر و دیگری با ضلع ۶ سانتیمتر. هر سه زاویهٔ هر دو مثلث ۶۰ درجه است. نسبت طول هر ضلع از مثلث بزرگ به ضلع متناظر در مثلث کوچک برابر است با: $\frac{6}{3} = 2$. بنابراین، نسبت تشابه این دو مثلث ۲ است.
محاسبه و کاربرد نسبت تشابه: از فرمول تا دنیای واقعی
نسبت تشابه (که معمولاً با حرف $k$ نشان داده میشود) محور اصلی تمام محاسبات است. اگر $k$ را بدانیم، میتوانیم تمام ابعاد شکل جدید را پیشبینی کنیم.
| چیزی که میدانیم | فرمول | مثال کاربردی |
|---|---|---|
| طول دو ضلع متناظر | $k = \frac{A'B'}{AB}$ | در یک ماکت ماشین، طول واقعی ۴ متر و طول ماکت ۲۰ سانتیمتر است. $k = \frac{0.2}{4} = 0.05$. |
| نسبت تشابه و یک ضلع از شکل الگو | $A'B' = k \times AB$ | اگر نسبت نقشه ۱:۱۰۰۰ ($k=\frac{1}{1000}$) و فاصلهٔ واقعی ۵۰۰ متر باشد، فاصله روی نقشه: $\frac{1}{1000} \times 500 = 0.5$ متر یا ۵۰ سانتیمتر. |
| نسبت محیطها | $\frac{P'}{P} = k$ | اگر نسبت تشابه مثلثی ۳ باشد، محیط مثلث بزرگشده ۳ برابر محیط مثلث اولیه است. |
| نسبت مساحتها | $\frac{S'}{S} = k^2$ | اگر یک مربع با ضلع ۲ سانتیمتر را با نسبت ۵ بزرگ کنیم، مساحت جدید $5^2 = 25$ برابر میشود. (از ۴ سانتیمتر مربع به ۱۰۰ سانتیمتر مربع) |
تشابه در عمل: از نقشهخوانی تا طراحی مهندسی
مفهوم نسبت تشابه فقط یک بحث ریاضی خشک نیست، بلکه هر روز در زندگی با آن سر و کار داریم.
۱. نقشهها و ماکتها: مقیاس نوشته شده روی نقشه (۱:۵۰۰۰۰) همان نسبت تشابه است. این عدد نشان میدهد هر ۱ واحد روی نقشه، معادل ۵۰۰۰۰ واحد در واقعیت است ($k=\frac{1}{50000}$). در ماکت یک ساختمان، با دانستن نسبت، میتوان ارتفاع واقعی ساختمان را محاسبه کرد.
۲. دوربینها و لنزها: وقتی از یک شیء عکس میگیرید، تصویر تشکیلشده روی سنسور دوربین، یک شکل متشابه (و بسیار کوچکشده) از شیء واقعی است. نسبت اندازهٔ تصویر به اندازهٔ واقعی، به فاصله کانونی لنز بستگی دارد.
۳. مثلثات و سایهها: یک مثال کلاسیک! اگر چوبی به طول ۱ متر را به طور عمودی در زمین فرو کنید و سایهاش ۱.۵ متر باشد، میتوانید ارتفاع یک درخت را از روی طول سایهاش محاسبه کنید. در اینجا مثلث قائمالزاویهای که چوب و سایه میسازند، با مثلث قائمالزاویهای که درخت و سایهاش میسازد، متشابه هستند. بنابراین نسبت ارتفاع درخت به ارتفاع چوب، برابر با نسبت سایهٔ درخت به سایهٔ چوب است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
[1] نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی که از تقسیم طول هر ضلع از یک شکل متشابه بر طول ضلع متناظر آن در شکل دیگر به دست میآید.
[2] اشکال متشابه (Similar Figures/Shapes): اشکالی که اندازه زوایای متناظر آنها برابر و نسبت طول اضلاع متناظر آنها ثابت باشد.
[3] مقیاس (Scale): نسبت فاصله یا اندازه روی یک نقشه، مدل یا طراحی به فاصله یا اندازه متناظر در دنیای واقعی.
