واسطهٔ هندسی: کلیدی برای پیدا کردن عدد میانی
واسطه هندسی چیست؟ یک تعریف ساده
فرض کنید دو عدد مثبت داریم، مثلاً 4 و 9. میانگین حسابی2 آنها 6.5 است. اما یک «میانگین» دیگر هم وجود دارد: عددی که اگر در خودش ضرب شود (یعنی مربع آن)، برابر حاصلضرب 4 و 9 شود. این عدد، واسطه هندسی است. حاصلضرب 4 و 9 برابر 36 است. کدام عدد در خودش ضرب شود میشود 36؟ پاسخ 6 است. پس 6، واسطه هندسی بین 4 و 9 میباشد.
$G = \sqrt{a \times b}$
یا به عبارت دیگر:
$G^2 = a \times b$
این مفهوم را میتوان در یک جدول خلاصه کرد:
| دو عدد (a و b) | میانگین حسابی $\frac{a+b}{2}$ | واسطه هندسی $\sqrt{a \times b}$ | بررسی: آیا $G^2 = a \times b$؟ |
|---|---|---|---|
| 2 , 8 | 5 | 4پاسخ | $4^2=16$ و $2 \times 8=16$درست است |
| 1 , 9 | 5 | 3 | $3^2=9$ و $1 \times 9=9$درست است |
| 5 , 5 | 5 | 5 | $5^2=25$ و $5 \times 5=25$درست است |
ریشه در هندسه: چرا به آن «هندسی» میگویند؟
این نام از هندسه کلاسیک یونان میآید. در یک نیمدایره، اگر وتری3 به طول قطر4 داشته باشید و از یک نقطه روی محیط، عمودی بر قطر رسم کنید، طول این عمود، واسطه هندسی بین دو پارهخطی است که روی قطر ایجاد میکند.
تصور کنید پارهخط $AB$ به طول $a+b$ داریم. نقطه $M$ روی آن طوری قرار دارد که $AM = a$ و $MB = b$. اگر نیمدایرهای روی $AB$ به عنوان قطر رسم کنیم و از $M$ عمودی بر $AB$ رسم کنیم تا نیمدایره را در نقطه $P$ قطع کند، طول $PM$ دقیقاً برابر $\sqrt{a \times b}$ خواهد بود. این یک اثبات هندسی زیبا برای مفهوم ما است.
گسترش موضوع: واسطه هندسی برای چند عدد و در دنبالهها
واسطه هندسی را میتوان برای بیش از دو عدد نیز تعریف کرد. برای سه عدد $a$، $b$ و $c$، واسطه هندسی عددی است که مکعب آن برابر حاصلضرب این سه عدد شود: $G = \sqrt[3]{a \times b \times c}$.
یکی از مهمترین کاربردهای آن در تشخیص «تصاعد هندسی»5 است. در یک تصاعد هندسی مانند 2, 6, 18, 54, ...، هر جمله (به جز اولین) دقیقاً برابر واسطه هندسی جمله قبل و بعد خود است. مثلاً برای $6$ و $18$ داریم: $\sqrt{6 \times 18} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ که خود عدد $6\sqrt{3}$ نیست، اما اگر اعداد متناسب باشند (که در یک تصاعد هندسی کامل هستند)، این رابطه برقرار است. رابطه دقیقتر: در یک تصاعد هندسی، $\frac{\text{جمله بعدی}}{\text{جمله کنونی}} = \text{ثابت}$. اما اگر سه جمله متوالی $a, G, b$ داشته باشیم، آنگاه $G^2 = a \times b$.
واسطه هندسی در زندگی و علم: از عکاسی تا اقتصاد
این مفهوم انتزاعی، در دنیای واقعی بسیار کاربردی است:
- مقیاسگذاری تصاویر و کاغذ: استانداردهای رایج کاغذ مانند A4 بر پایه نسبتهای هندسی ساخته شدهاند. اگر یک صفحه A4 را از وسط تا کنید، به دو صفحه A5 میرسید. نسبت طول به عرض در تمام این سریها ثابت و برابر $\sqrt{2} \approx 1.414$ است. این عدد، واسطه هندسی بین 1 و 2 است! زیرا $(\sqrt{2})^2 = 2$.
- نرخ رشد مرکب6: فرض کنید سرمایهای در سه سال متوالی 20% رشد، سپس 50% رشد و سپس 10% کاهش داشته است. برای یافتن نرخ رشد سالانه متوسط، از میانگین حسابی استفاده نمیکنیم. باید از واسطه هندسی ضرایب رشد استفاده کنیم. ضریب رشد اول 1.2، دوم 1.5 و سوم 0.9 است. نرخ رشد متوسط از رابطه $\sqrt[3]{1.2 \times 1.5 \times 0.9} = \sqrt[3]{1.62} \approx 1.175$ به دست میآید. یعنی متوسط رشد سالانه حدود 17.5% بوده است.
- در آمار و دادهنمایی: برای محاسبه میانگین نرخها، نسبتها یا دادههایی که ماهیت ضربی دارند (مانند کاهش آلودگی صوتی بر حسب دسیبل که یک مقیاس لگاریتمی است)، از واسطه هندسی استفاده میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، برای هر دو عدد مثبت متمایز، واسطه هندسی همیشه کوچکتر از میانگین حسابی است. این یک قضیه مهم است: $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$. تنها زمانی برابر است که دو عدد با هم برابر باشند.
پاسخ: در مجموعه اعداد حقیقی، اگر هر دو عدد منفی باشند، حاصلضرب آنها مثبت میشود ($-4 \times -9 = 36$). در این حالت، ریشه دوم حاصلضرب، یک عدد مثبت است (6). اما این عدد 6، بین -4 و -9 قرار ندارد (از هر دوی آنها بزرگتر است). بنابراین، معمولاً وقتی از واسطه هندسی صحبت میکنیم، فرض میکنیم اعداد مثبت هستند تا نتیجه نیز عددی مثبت و معنادار در زمینه مسئله باشد.
پاسخ: میانگین حسابی برای جمع و دادههایی با ماهیت افزایشی مناسب است (مثل میانگین نمرات، میانگین دما). اما واسطه هندسی برای ضرب و دادههایی با ماهیت نسبتی و رشد مرکب مناسب است (مثل میانگین نرخ رشد، میانگین نسبتها). برای درک بهتر: اگر فاصله یک شهر تا شهر دیگر را با دو سرعت متفاوت بروید، میانگین سرعت شما، یک واسطه هارمونیک (نوعی دیگر از میانگین) است، نه حسابی یا هندسی!
پاورقی
1واسطه هندسی (Geometric Mean): عددی مثبت که مربع آن برابر حاصلضرب دو عدد مثبت دیگر باشد.
2میانگین حسابی (Arithmetic Mean): حاصل جمع اعداد تقسیم بر تعداد آنها.
3وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه روی یک دایره را به هم وصل کند.
4قطر (Diameter): بزرگترین وتری که از مرکز دایره میگذرد.
5تصاعد هندسی (Geometric Progression): دنبالهای از اعداد که در آن هر جمله از ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت (نسبت مشترک) به دست میآید.
6نرخ رشد مرکب (Compound Growth Rate): نرخ رشدی که در آن سود یا افزایش هر دوره به اصل سرمایه دوره بعد اضافه میشود.
