عکس قضیه: جابهجایی فرض و حکم
گزاره شرطی و ساختار یک قضیه
هر قضیهی ریاضی را میتوان به شکل یک گزارهی شرطی «اگر ... آنگاه ...» نوشت. به قسمت بعد از «اگر»، فرض۱ و به قسمت بعد از «آنگاه»، حکم۲ میگوییم. به زبان نمادین، اگر $P$ را نماد فرض و $Q$ را نماد حکم بگیریم، قضیه به شکل $P \Rightarrow Q$ خوانده میشود: «اگر P آنگاه Q».
مثال ساده: قضیه «اگر عددی به رقم 0 یا 5 ختم شود، بر 5 بخشپذیر است.»
- فرض (P): عددی به رقم 0 یا 5 ختم شود.
- حکم (Q): آن عدد بر 5 بخشپذیر است.
عکس قضیه چگونه ساخته میشود؟
برای ساختن عکس قضیه۳، به سادگی جای فرض و حکم را با هم عوض میکنیم. یعنی از قضیهی اصلی $P \Rightarrow Q$، به گزارهی جدید $Q \Rightarrow P$ میرسیم که میخوانیم: «اگر Q آنگاه P».
برگردیم به مثال بخشپذیری بر 5:
- قضیه اصلی: اگر عددی به رقم 0 یا 5 ختم شود، بر 5 بخشپذیر است. ($P \Rightarrow Q$)
- عکس قضیه: اگر عددی بر 5 بخشپذیر باشد، به رقم 0 یا 5 ختم میشود. ($Q \Rightarrow P$)
در این مثال خاص، به نظر میرسد عکس قضیه هم درست است. اما همیشه اینطور نیست.
آیا عکس یک قضیه همیشه درست است؟ یک مثال کلاسیک
یکی از معروفترین مثالها برای نشاندادن نادرستی یک عکس قضیه، مربوط به قضیهی فیثاغورس است. بیایید با هم بررسی کنیم:
- قضیه اصلی (فیثاغورس): اگر یک مثلث، قائمالزاویه باشد، آنگاه مجذور وتر برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر. ($P \Rightarrow Q$)
- عکس قضیه: اگر در یک مثلث، مجذور بزرگترین ضلع برابر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر باشد، آنگاه آن مثلث قائمالزاویه است. ($Q \Rightarrow P$)
جالب است که عکس قضیهی فیثاغورس نیز درست است. اما حالا به این مثال دقت کنید:
قضیه: «اگر حیوانی یک اسب است، آنگاه چهار پا دارد.» این گزاره واضحاً درست است.
عکس قضیه: «اگر حیوانی چهار پا دارد، آنگاه یک اسب است.» این گزاره به وضوح نادرست است (مثلاً یک گاو را در نظر بگیرید).
پس نتیجه میگیریم: درستی یک قضیه، هیچگاه تضمینکنندهی درستی عکس آن نیست. هر عکس قضیه باید به طور جداگانه و مستقل بررسی و اثبات شود.
| موضوع مثال | قضیه اصلی (P ⇒ Q) | عکس قضیه (Q ⇒ P) | درستی عکس قضیه |
|---|---|---|---|
| اعداد زوج | اگر عددی به رقم 0، 2، 4، 6 یا 8 ختم شود، آنگاه زوج است. | اگر عددی زوج باشد، آنگاه به رقم 0، 2، 4، 6 یا 8 ختم میشود. | درست |
| مربع | اگر یک چهارضلعی، مربع باشد، آنگاه تمام زوایای آن قائمه است. | اگر یک چهارضلعی، تمام زوایای آن قائمه باشد، آنگاه آن مربع است. | نادرست (مستطیل نیز همین خاصیت را دارد) |
| باران و ابر | اگر باران ببارد، آنگاه آسمان ابری است. | اگر آسمان ابری باشد، آنگاه باران میبارد. | نادرست (همیشه ابری بودن به باران منجر نمیشود) |
کاربرد عملی: تشخیص استدلالهای غلط در زندگی روزمره
شناخت مفهوم عکس قضیه به ما کمک میکند تا بسیاری از استدلالهای نادرست در اطراف خود را شناسایی کنیم. این استدلالهای غلط اغلب ناخواسته و از روی بیدقتی رخ میدهند.
مثال ۱ (تبلیغات): ممکن است بشنوید «همهی ورزشکاران حرفهای تغذیهی سالم دارند.» (اگر شخصی ورزشکار حرفهای است، آنگاه تغذیه سالم دارد: $P \Rightarrow Q$). یک شرکت تولید کننده مکمل غذایی ممکن است به صورت پنهان این پیام را القا کند: «اگر میخواهی تغذیهی سالمی داشته باشی، باید این مکمل ما را بخوری!» این در واقع استفاده نادرست از یک عکس قضیه است. چون تغذیه سالم (Q) لزوماً به معنای مصرف آن مکمل خاص (یک P جدید) نیست.
مثال ۲ (روابط اجتماعی): «اگر دوستم مرا دوست داشته باشد، در مشکلات به من کمک میکند.» این ممکن است درست باشد. اما اگر کسی نتیجه بگیرد که «اگر شخصی در مشکلات به من کمک نکرد، پس قطعاً مرا دوست ندارد.» در حال استفاده از یک شکل دیگر از استدلال نادرست است. این شخص فرض کرده که عکس قضیه ($Q \Rightarrow P$) همیشه درست است.
این مهارت تفکر نقادانه، برای دانشآموزان در تحلیل اخبار، تبلیغات و حتی مباحث درسی بسیار ارزشمند است.
تفاوت عکس قضیه با مفاهیم مشابه: معکوس و نقیض
اغلب دانشآموزان بین «عکس قضیه»، «قضیهی معکوس»۴ و «نقیض»۵ سردرگم میشوند. این جدول به روشن شدن تفاوت کمک میکند:
| نام | نماد | چگونگی ساخت | مثال (با گزاره اصلی: اگر باران ببارد، خیابان خیس میشود.) |
|---|---|---|---|
| گزاره اصلی | $P \Rightarrow Q$ | – | اگر باران ببارد، خیابان خیس میشود. |
| عکس قضیه | $Q \Rightarrow P$ | جای P و Q عوض میشود. | اگر خیابان خیس باشد، باران باریده است. |
| قضیه معکوس۴ | $\sim P \Rightarrow \sim Q$ | هر دو بخش نقیض میشوند. | اگر باران نبارد، خیابان خیس نمیشود. |
| نقیض۵ | $\sim (P \Rightarrow Q)$ | کل گزاره اصلی منفی میشود. معادل $P$ و $\sim Q$. | باران میبارد ولی خیابان خیس نمیشود. |
نکتهی جالب و مهم: یک قضیه و معکوس آن همارز منطقی هستند. یعنی اگر یکی درست باشد، دیگری نیز درست است و برعکس. اما قضیه و عکس آن چنین رابطهای ندارند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. درست بودن هر دو ($P \Rightarrow Q$ و $Q \Rightarrow P$) به این معناست که رابطهی «اگر و فقط اگر»۶ بین آنها برقرار است. به این حالت، «قضیهی دوطرفه» میگویند. اما این دو گزاره هنوز هم دو بیان متفاوت هستند. برای مثال، قضیه فیثاغورس و عکسش هر دو درستاند، اما یکی میگوید «قائمالزاویه بودن» منجر به «برابری مجذورات» میشود و عکسش میگوید «برابری مجذورات» منجر به «قائمالزاویه بودن» میشود.
پاسخ: کافی است یک مثال نقض۷ بیابید. مثال نقض حالتی است که در آن حکم قضیه اصلی (Q) درست باشد، اما فرض (P) نادرست باشد. برای عکس قضیهی «اگر حیوانی چهار پا دارد، آنگاه اسب است.»، یک گاو مثال نقض است. زیرا گاو چهار پا دارد (Q درست)، اما اسب نیست (P نادرست). یافتن حتی یک مثال نقض برای بیاعتبار کردن یک ادعای کلی کافی است.
پاسخ: بله، بسیار زیاد. به ویژه در هندسه. برای مثال، قضیهی «اگر دو خط با یک خط مورب قطع شوند و زوایای متقابل بهراس باشند، آنگاه با هم مساویاند.» عکس این قضیه نیز درست است و اغلب برای اثبات متوازیالاضلاع بودن یک چهارضلعی از آن استفاده میشود: «اگر در یک چهارضلعی زوایای روبهرو دو به دو مساوی باشند، آنگاه اضلاع روبهرو موازیاند.» (البته این یک بیان سادهشده است). تشخیص این قضایای دوطرفه به حل مسئله کمک زیادی میکند.
پاورقی
۱ فرض (Premise / Hypothesis)
۲ حکم (Conclusion)
۳ عکس قضیه (Converse of a Theorem)
۴ قضیه معکوس (Inverse of a Theorem)
۵ نقیض (Negation)
۶) اگر و فقط اگر (If and Only If - IFF)
۷ مثال نقض (Counterexample)
