همرسانی نیمسازها در مثلث: نیمسازهای زاویه‌های مثلث در یک نقطه مشترک‌اند

همرسانی نیمسازها در مثلث: نقطه‌ای که قلب مثلث است

نیمساز چیست و چگونه رسم می‌شود؟

نیمساز یک زاویه، پرتوی است که از رأس آن زاویه خارج شده و آن را به دو زاویه‌ی هم‌اندازه تقسیم می‌کند. اگر زاویه‌ی $ \angle BAC $ را در نظر بگیریم، نیمساز آن خط یا پاره‌خطی مانند $ AD $ است به طوری که $ \angle BAD = \angle DAC $.

برای رسم نیمساز با پرگار و خط‌کش (روش هندسی): از رأس زاویه کمانی بزنید تا دو ضلع را در دو نقطه قطع کند. حالا از هر یک از این دو نقطه، به یک فاصله (بیشتر از نصف فاصله بین آن‌ها) کمانی در داخل زاویه بزنید. نقطه برخورد این دو کمان را به رأس زاویه وصل کنید. این خط، نیمساز است.

آشنایی با مراکز مثلث: مرکز محاطی

در هر مثلث، چند نقطه‌ی مهم وجود دارد که از تقاطع خطوط خاصی مانند میانه، ارتفاع، عمودمنصف و نیمساز به دست می‌آیند. نقطه‌ی برخورد سه نیمساز زاویه‌های داخلی مثلث را مرکز دایره‌ی محاطی یا به اختصار «مرکز محاطی»² می‌نامند. این نقطه همواره در داخل مثلث قرار دارد.

ویژگی شگفت‌انگیز این نقطه این است که فاصله‌ی آن از هر سه ضلع مثلث با هم برابر است. به همین دلیل، اگر دایره‌ای به مرکز این نقطه و به شعاع همان فاصله رسم کنیم، این دایره دقیقاً با هر سه ضلع مثلث تماس خواهد داشت (بر آن‌ها مماس خواهد بود). به این دایره، «دایره‌ی محاطی»⁴ گفته می‌شود.

اثبات گام‌به‌گام هم‌راستایی نیمسازها

می‌خواهیم ثابت کنیم در هر مثلث $ \triangle ABC $، سه نیمساز زاویه‌های $ A $، $ B $ و $ C $ در یک نقطه مشترک هستند.

گام ۱: دو نیمساز را در نظر بگیرید. نیمسازهای زاویه‌های $ A $ و $ B $ را رسم می‌کنیم. این دو خط حتماً یکدیگر را در نقطه‌ای مانند $ I $، در داخل مثلث قطع می‌کنند (چون هر دو در داخل مثلث اند).

گام ۲: ویژگی فاصله از نیمساز. نقطه‌ی $ I $ روی نیمساز زاویه‌ی $ A $ است. یکی از ویژگی‌های مهم نقاط روی نیمساز این است که فاصله‌ی آن از دو ضلع تشکیل‌دهنده آن زاویه برابر است. بنابراین فاصله‌ی نقطه $ I $ از ضلع $ AB $ و از ضلع $ AC $ با هم برابرند. اگر این فاصله را $ r $ بنامیم، داریم: $ d(I, AB) = d(I, AC) = r $.

گام ۳: همین استدلال را برای نیمساز زاویه‌ی $ B $ انجام می‌دهیم. چون $ I $ روی این نیمساز هم قرار دارد، فاصله‌ی آن از ضلع $ BA $ و از ضلع $ BC $ نیز برابر است. از گام قبل می‌دانیم $ d(I, AB)=r $، پس نتیجه می‌گیریم: $ d(I, BC) = r $.

گام ۴ (نقطه کلیدی): اکنون داریم: $ d(I, AC) = r $ و $ d(I, BC) = r $. پس فاصله‌ی نقطه $ I $ از دو ضلع $ AC $ و $ BC $ یکسان است. این دقیقاً شرطی است که نشان می‌دهد نقطه $ I $ روی نیمساز زاویه‌ی سوم، یعنی $ \angle C $ نیز قرار دارد! زیرا نقاطی که از دو ضلع یک زاویه فاصله‌ی یکسان دارند، روی نیمساز آن زاویه واقع شده‌اند.

نتیجه: بنابراین، نقطه $ I $ بر روی هر سه نیمساز زاویه‌های مثلث قرار دارد. یعنی سه نیمساز در نقطه‌ی $ I $ همدیگر را قطع می‌کنند. به این ترتیب قضیه ثابت می‌شود.

کاربرد عملی: یافتن مرکز محاطی و شعاع دایره‌ی محاطی

این قضیه فقط یک زیبایی نظری نیست، بلکه کاربردهای عملی بسیار دارد. برای مثال، فرض کنید می‌خواهید در یک قطعه زمین مثلثی، یک حوضچه‌ی دایره‌ای طوری طراحی کنید که دقیقاً از هر سه حاشیه زمین فاصله‌ی یکسانی داشته باشد. مرکز این حوضچه، همان مرکز محاطی مثلث و شعاع آن، همان فاصله‌ی یکسان از اضلاع است.

مثال عددی: مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع $ 3 $، $ 4 $ و $ 5 $ سانتی‌متر داریم. می‌خواهیم شعاع دایره‌ی محاطی آن را پیدا کنیم.

یک روش استفاده از فرمول مساحت است. می‌دانیم مساحت مثلث $ S $ هم از طریق قاعده و ارتفاع و هم از طریق رابطه‌ی $ S = r \times s $ به دست می‌آید که در آن $ r $ شعاع دایره‌ی محاطی و $ s $ نصف محیط مثلث است.

نصف محیط: $ s = \frac{3+4+5}{2} = 6 $ سانتی‌متر.
مساحت: $ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $ سانتی‌متر مربع.
حال در رابطه $ S = r \times s $ قرار می‌دهیم: $ 6 = r \times 6 $، پس $ r = 1 $ سانتی‌متر.
بنابراین مرکز محاطی در این مثلث از هر ضلع $ 1 $ سانتی‌متر فاصله دارد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹نیمساز (Angle Bisector): خط یا پاره‌خطی که یک زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

²مرکز دایره‌ی محاطی (Incenter): نقطه‌ی تقاطع نیمسازهای زاویه‌های داخلی یک مثلث. این نقطه مرکز دایره‌ای است که بر اضلاع مثلث مماس است (دایره‌ی محاطی).

³هندسه اقلیدسی (Euclidean Geometry): شاخه‌ای از هندسه که بر اساس اصول و قضایای اقلیدس پایه‌گذاری شده و به مطالعه‌ی ویژگی‌های اشکال در صفحه یا فضای دو یا سه‌بعدی می‌پردازد.

⁴دایره‌ی محاطی (Incircle): دایره‌ای که درون یک مثلث قرار گرفته و بر هر سه ضلع آن مماس است.