نوسان واداشته: وقتی نیروی خارجی با نوسانگر هماهنگ میشود
نوسان آزاد در مقابل نوسان اجباری
برای درک نوسان واداشته، ابتدا باید با دو مفهوم پایه آشنا شویم: نوسان آزاد و نوسان اجباری.
| ویژگی | نوسان آزاد | نوسان اجباری (واداشته) |
|---|---|---|
| تعریف | نوسانگر پس از یک ضربه اولیه، بدون دخالت نیروی خارجی و با فرکانس ذاتی خود نوسان میکند. | نوسانگر تحت تأثیر یک نیروی خارجی دورهای (محرکه) به نوسان ادامه میدهد. |
| فرکانس نوسان | فرکانس ذاتی5 سیستم ($ f_0 $) | فرکانس نیروی محرکه خارجی ($ f_d $) |
| دامنه نوسان | به تدریج به دلیل اصطکاک (میرایی) کاهش مییابد. | میتواند ثابت بماند یا حتی افزایش یابد (وابسته به تفاوت فرکانسها). |
| مثال | تابی که آن را رها کردهایم و خودش کمکم میایستد. | تابی که کسی آن را به طور مداوم و ریتمیک هل میدهد. |
در نوسان واداشته، نیروی محرکه نقش یک راننده دائمی را بازی میکند. تصور کنید روی یک تاب نشستهاید. اگر فقط یک بار خودتان را هل دهید و سپس دستبردار شوید، تاب با فرکانس خاص خودش (که به طول طناب آن بستگی دارد) نوسان میکند و به مرور میایستد. این نوسان آزاد است. اما اگر دوست شما پشت سر هم و با یک ریتم ثابت شما را هل دهد، شما مجبورید با همان ریتم او تاب بخورید، حتی اگر آن ریتم با ریتم طبیعی تاب شما متفاوت باشد. این یک نوسان واداشته ساده است.
ریاضیات ساده پشت نوسان واداشته
برای توصیف یک نوسانگر ساده (مانند جرم متصل به فنر) که نیروی وادارنده روی آن اثر میکند، از معادلهای استفاده میکنیم که همه عوامل را در نظر میگیرد.
در این فرمول:
- $ m $: جرم جسم نوسانکننده.
- $ x $: جابجایی جسم از نقطه تعادل.
- $ c $: ضریب میرایی (مقاومت محیط مثل هوا).
- $ k $: ثابت فنر.
- $ F_0 $: بیشینه اندازه نیروی وادارنده.
- $ \omega_d = 2\pi f_d $: فرکانس زاویهای6 نیروی محرکه.
سمت چپ معادله، توصیفکننده خود نوسانگر است: عبارت اول شتاب جسم، دوم نیروی میرایی و سوم نیروی بازگرداننده فنر. سمت راست، همان نیروی خارجی دورهای است که سیستم را میراند.
جواب این معادله نشان میدهد که پس از گذشت زمانی کوتاه (حالت گذرا7)، سیستم به یک حالت ماندگار8 میرسد. در این حالت، نوسانگر دقیقاً با فرکانس نیروی محرکه ($ \omega_d $) و با یک دامنه ثابت نوسان میکند. اندازه این دامنه ثابت به چند چیز بستگی دارد:
- بزرگی نیروی محرکه ($ F_0 $).
- فرکانس نیروی محرکه ($ \omega_d $).
- فرکانس ذاتی سیستم ($ \omega_0 = \sqrt{k/m} $).
- میزان میرایی ($ c $).
پدیده شگفتانگیز همدهانی (رزونانس)
جذابترین بخش نوسان واداشته هنگامی رخ میدهد که فرکانس نیروی محرکه ($ f_d $) به فرکانس ذاتی سیستم ($ f_0 $) نزدیک شود یا با آن برابر شود. در این حالت، دامنه نوسان به شدت افزایش مییابد. به این پدیده همدهانی یا رزونانس میگویند.
چرا این اتفاق میافتد؟ زیرا در این شرایط، نیروی خارجی همیشه در جهت حرکت نوسانگر به آن ضربه میزند و انرژی را در زمان درست به سیستم اضافه میکند. مانند زمانی که میخواهید با هل دادن، یک تاب را به بالا ببرید. اگر هلها را دقیقاً در لحظهای که تاب در انتهای مسیرش است و میخواهد برگردد وارد کنید (همفاز با حرکت آن)، بیشترین تأثیر را دارید و دامنه نوسان مرتب زیاد میشود.
| نسبت فرکانس ($ f_d / f_0 $) | شرح رفتار سیستم | وضعیت دامنه |
|---|---|---|
| $ \ll 1 $ (خیلی کوچک) | نیروی خارجی بسیار آهسته اعمال میشود. سیستم تقریباً میتواند همگام با آن حرکت کند. | کوچک |
| $ \approx 1 $ (نزدیک به یک) | شرایط همدهانی. نیرو در زمان مناسب انرژی اضافه میکند. | بسیار بزرگ (متناسب با میرایی) |
| $ \gg 1 $ (خیلی بزرگ) | نیروی خارجی بسیار سریع تغییر میکند. سیستم فرصت پاسخگویی ندارد. | کوچک |
نوسان واداشته در دنیای پیرامون ما
این پدیده تنها در کتابهای فیزیک نیست، بلکه بخشی از زندگی روزمره و فناوری است:
- ساخت پلها: مهندسان باید مطمئن شوند فرکانس ذاتی پل با فرکانس نیروهای وادارنده معمول (مثل قدم زدن گروهی افراد، باد، یا ترافیک) متفاوت است تا از رزونانس خطرناک جلوگیری شود.
- رادیو و تلویزیون: وقتی شماره یک ایستگاه رادیویی را میگیرید، در واقع فرکانس نوسان مدار تنظیم10 رادیوی خود را به فرکانس امواج ارسالی آن ایستگاه (نیروی محرکه) میرسانید. در این حالت همدهانی رخ داده و سیگنال آن ایستگاه با حداکثر قدرت دریافت میشود.
- ماشین لباسشویی: اگر لباسها در حین چرخش به طور نامتوازن در درام پخش شوند، میتوانند یک نیروی وادارنده دورهای ایجاد کنند. اگر فرکانس چرخش به فرکانس ذاتی قاب ماشین نزدیک شود، ماشین شروع به لرزش شدید (رزونانس) میکند.
- حرکت خودرو روی دست انداز: دستاندازهای تکراری یک نیروی وادارنده دورهای به سیستم تعلیق خودرو وارد میکنند. اگر فاصله دستاندازها طوری باشد که فرکانس ضربات با فرکانس طبیعی سیستم تعلیق هماهنگ شود، نوسانات خودرو شدید میشود.
- آونگهای ساعتهای قدیمی: این ساعتها با یک نیروی وادارنده (مثلاً از طریق فنر یا وزن) که انرژی از دست رفته آونگ بر اثر اصطکاک را جبران میکند، به طور دقیق کار میکنند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، اما فقط در حالت ماندگار. بلافاصله پس از اعمال نیرو، یک حالت گذرا وجود دارد که در آن سیستم ترکیبی از فرکانس ذاتی خود و فرکانس محرکه را نشان میدهد. اما پس از مدت کوتاهی به دلیل میرایی، نوسان با فرکانس ذاتی از بین رفته و فقط نوسان با فرکانس محرکه باقی میماند.
پاسخ: خیر. همدهانی در محدودهای از فرکانسهای اطراف فرکانس ذاتی رخ میدهد. هرچه میرایی سیستم کمتر باشد، این محدوده باریکتر و قله رزونانس بلندتر است. در یک سیستم بدون میرایی ایدهآل، اگر فرکانسها دقیقاً برابر باشند، دامنه به طور نامحدود رشد میکند.
پاسخ: نیروی وادارنده دورهای و تناوبی است و برای مدت طولانی ادامه دارد (مانند یک هل ریتمیک به تاب). اما یک ضربه ساده، نیرویی است که در یک لحظه کوتاه اعمال میشود و سپس قطع میگردد (مانند یک ضربه محکم به زنگ). ضربه ساده معمولاً منجر به نوسان آزاد میشود.
پاورقی
1 نوسان واداشته (Driven Oscillation).
2 نیروی خارجی دورهای (Periodic External Force).
3 رزونانس (Resonance).
4 میرایی (Damping).
5 فرکانس ذاتی (Natural Frequency).
6 فرکانس زاویهای (Angular Frequency).
7 حالت گذرا (Transient State).
8 حالت ماندگار (Steady State).
9 پل تاکومای ناروز (Tacoma Narrows Bridge) - مثالی کلاسیک از تخریب ناشی از رزونانس.
10 مدار تنظیم (Tuning Circuit).
