دوران مستطیل و راز پیدایش استوانه
از مستطیل مسطح تا استوانهٔ سهبعدی
یک مستطیل را تصور کنید که روی میز قرار دارد. این شکل، فقط طول و عرض دارد؛ یعنی یک شکل دوبعدی۱ است. حالا فرض کنید این مستطیل، مانند یک پرهٔ پنکه، به دور یکی از ضلعهای خود شروع به چرخش کند. این ضلع، محور دوران نامیده میشود. در حین چرخش سریع، شکل جدیدی در فضا شکل میگیرد که دارای طول، عرض و ارتفاع است؛ یعنی یک شکل سهبعدی۲. به این شکل جدید، استوانه۳ میگوییم.
شناخت اجزای استوانه حاصل از دوران
وقتی مستطیل میچرخد، هر قسمت از آن به بخشی از استوانه تبدیل میشود. برای درک بهتر، اجزای اصلی استوانه را در جدول زیر میبینیم:
| جزء در مستطیل اولیه | نقش در استوانهٔ نهایی | توضیح و مثال |
|---|---|---|
| ضلع محور دوران | ارتفاع (h) استوانه | مانند طول قوطی کنسرو. اگر ضلع مستطیل 5 سانتیمتر باشد، ارتفاع استوانه نیز 5 سانتیمتر است. |
| ضلع مقابل محور | محیط دایرهٔ پایه (P = 2πr) | این ضلع در حین چرخش، یک دایره کامل را ترسیم میکند. طول این ضلع برابر با محیط دایره میشود. |
| ضلعهای مجاور محور (دو ضلع) | شعاع (r) دایرهٔ پایه | طول هر یک از این ضلعها، برابر با شعاع دایرهای میشود که در پایهٔ استوانه تشکیل میشود. |
| کل سطح مستطیل | مساحت جانبی استوانه | اگر مستطیل را باز کنید، به نوار جانبی استوانه تبدیل میشود. مساحت این نوار از فرمول $ A_{جانبی} = 2\pi r h $ به دست میآید. |
محاسبهها: از ابعاد مستطیل به حجم استوانه
اگر ابعاد مستطیل را بدانیم، میتوانیم مشخصات استوانهٔ حاصل را محاسبه کنیم. فرض کنید یک مستطیل داریم که طول آن (ضلع محور) 8 سانتیمتر و عرض آن (ضلع مجاور محور) 3 سانتیمتر است.
- ارتفاع استوانه (h): برابر با طول ضلع محور، یعنی 8 cm.
- شعاع پایه (r): برابر با طول ضلع مجاور محور، یعنی 3 cm.
- محیط پایه: از رابطهٔ $ P = 2 \pi r $ محاسبه میشود. با تقریب π ≈ 3.14، میشود: $ 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84 \, cm $. جالب است که این عدد برابر با طول ضلع مقابل محور در مستطیل اولیه است.
استوانه در زندگی: از آشپزخانه تا خیابان
استوانهها همهجا هستند! این بار که یک قوطی نوشابه را برداشتید، به آن به چشم یک مستطیل چرخیده نگاه کنید. بدنهٔ قوطی همان نوار جانبی استوانه است. لولههای آب هم مثال بارزی هستند: اگر مقطع آنها دایره باشد، در واقع از دوران یک مستطیل بسیار بلند و باریک حول طولش به وجود آمدهاند. این شکل باعث میشود لولهها در برابر فشار مقاومت خوبی داشته باشند و مایعات به راحتی در آنها جریان یابد.
شمعهای استوانهای، غلتکهای نقاشی، برخی از باتریها و حتی ستونهای گرد برخی ساختمانها، همگی نمونههایی از این حجم پرکاربرد هستند. دلیل این همه کاربرد، استحکام و سادگی ساخت این شکل است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. ارتفاع و شعاع استوانهٔ حاصل، وابسته به این است که حول کدام ضلع بچرخد. اگر حول ضلع کوتاهتر بچرخد، استوانهای کوتاه و پهن و اگر حول ضلع بلندتر بچرخد، استوانهای بلند و نازک ایجاد میشود. حجم این دو استوانه نیز با هم متفاوت خواهد بود.
پاسخ: مساحت جانبی استوانه دقیقاً برابر با مساحت مستطیل اولیه است. زیرا در عمل چرخش، مستطیل بدون هیچ فشرده یا کشیدهشدنی، فقط خم شده و سطح جانبی استوانه را میسازد. اگر طول مستطیل را L و عرض آن را W در نظر بگیریم، داریم: مساحت مستطیل = L × W. از طرفی در استوانه، L = h و W = محیط دایره = 2πr. پس مساحت جانبی استوانه میشود: $ h \times (2\pi r) = 2\pi r h $.
پاسخ: بله، قطعاً. مربع یک مستطیل خاص است که همهی ضلعهایش برابرند. وقتی یک مربع را حول یک ضلعش بچرخانیم، استوانهای ایجاد میشود که ارتفاع و قطر قاعدهی آن با هم برابرند (چون ضلعهای مجاور محور که شعاع را میسازند، با ضلع محور که ارتفاع را میسازد، برابر است).
پاورقی
۱دوبعدی (2D): به اشکالی گفته میشود که فقط دو بعد طول و عرض دارند و بر روی یک صفحه قرار میگیرند، مانند مربع، دایره یا مثلث. (مخفف انگلیسی: Two Dimensional)
۲سهبعدی (3D): به اشیایی گفته میشود که دارای سه بعد طول، عرض و ارتفاع (یا عمق) هستند و در فضا حجم اشغال میکنند، مانند مکعب، کره یا استوانه. (مخفف انگلیسی: Three Dimensional)
۳استوانه (Cylinder): یک حجم هندسی است که از دو پایهٔ دایرهای همشکل و موازی و یک سطح جانبی منحنی که این دو پایه را به هم وصل میکند، تشکیل شده است.
۴مساحت جانبی (Lateral Surface Area): مساحت سطحی از یک حجم که پایههای آن را شامل نمیشود. برای استوانه، این سطح به شکل یک مستطیل خمیده است.
