استوانهٔ محیط بر کره: استوانه‌ای که کره را از همه طرف دربر می‌گیرد.

استوانه‌ای که کره را در آغوش می‌گیرد: نگاهی به استوانهٔ محیط بر کره

استوانه محیط بر کره چیست؟

فرض کن یک توپ بیلیارد داریم. حالا یک قوطی استوانه‌ای شفاف را در نظر بگیر که دقیقاً به اندازه‌ای است که اگر توپ را داخل آن بگذاریم، از بالا و پایین و اطراف، کاملاً به دیواره‌های قوطی بچسبد. به چنین استوانه‌ای که کره را از همه طرف لمس می‌کند و آن را در بر می‌گیرد، استوانه محیط بر کره می‌گویند. این استوانه کوچک‌ترین استوانه‌ای است که می‌توان آن کره را داخل آن جای داد.

برای اینکه این اتفاق بیفتد، باید سه شرط اصلی همزمان برقرار باشد:

پس اگر شعاع کره را با حرف $ r $ نشان دهیم، برای استوانه محیط بر آن داریم:

رابطه‌های جالب: حجم و مساحت

حالا بیایید ببینیم حجم و مساحت این دو شکل هندسی چه رابطه‌ای با هم دارند. این قسمت کمی حساب‌و‌کتاب دارد ولی بسیار جالب است!

فرمول حجم کره: $ V_{کره} = \frac{4}{3} \pi r^{3} $

فرمول حجم استوانه: $ V_{استوانه} = \pi r^{2} \times h $

اما در استوانه محیط بر کره، می‌دانیم $ h = 2r $. پس حجم استوانه می‌شود:

$ V_{استوانه} = \pi r^{2} \times (2r) = 2 \pi r^{3} $

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه محیط بر آن را حساب کنیم:

$ \frac{V_{کره}}{V_{ستوانه}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{2 \pi r^{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3} $

یعنی حجم کره، دو‌سوم حجم استوانه‌ای است که آن را احاطه کرده! این یک نسبت ثابت و همیشه درست است.

در مورد مساحت جانبی استوانه (بدون در نظر گرفتن دو پایه) هم رابطهٔ جالبی وجود دارد. مساحت جانبی استوانه محیط بر کره برابر است با:

$ A_{جانبی} = 2 \pi r \times h = 2 \pi r \times (2r) = 4 \pi r^{2} $

جالب اینجاست که مساحت جانبی این استوانه دقیقاً برابر با مساحت سطح کره ($ 4 \pi r^{2} $) است! این یک کشف مهم ریاضی‌دانان باستان بود.

از توپ فوتبال تا قوطی رنگ: مثال‌هایی از زندگی روزمره

شاید فکر کنید این مفهوم فقط در کتاب‌های هندسه وجود دارد. اما با کمی دقت، مثال‌های زیادی از آن را در اطراف خود می‌بینیم:

۱. بسته‌بندی توپ‌های ورزشی: دفعهٔ بعد که یک توپ تنیس یا پینگ‌پنگ نو خریدید، به جعبهٔ استوانه‌ای آن دقت کنید. این جعبه تقریباً یک استوانه محیط بر آن توپ کروی است. توپ از همه طرف به جعبه می‌چسبد تا در هنگام حمل‌ونقل تکان نخورد.

۲. شمع‌های استوانه‌ای و گرد: یک شمع کروی تزیینی را در نظر بگیرید. برای محافظت و بسته‌بندی بهتر، گاهی آن را داخل یک محفظهٔ استوانه‌ای پلاستیکی می‌گذارند که اندازه‌هایش دقیقاً متناسب با قطر شمع است.

۳. مخازن کروی و پوشش‌های استوانه‌ای: در صنعت، مخازن بزرگ نگهداری گاز مایع، اغلب کروی هستند. برای عایق‌بندی یا محافظت مکانیکی، گاهی یک پوشش استوانه‌ای بزرگ دور آنها ساخته می‌شود که اصل محیط بر را رعایت می‌کند.

البته باید توجه داشت که در زندگی واقعی، این اندازه‌ها گاهی کاملاً دقیق نیستند و همیشه یک فاصله یا لقی کوچک برای راحتی در قرارگیری یا تهویه در نظر گرفته می‌شود. اما ایدهٔ اصلی یکسان است: کوچک‌ترین فضای استوانه‌ای ممکن برای جا دادن یک کره.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹استوانه محیط بر کره (Circumscribed Cylinder): استوانه‌ای که کره در آن چنان قرار گیرد که سطح کره بر سطح داخلی استوانه (هم بدنه و هم دو پایه) مماس باشد.
²مماس (Tangent): حالتی که دو شکل هندسی در یک نقطه یا یک خط با هم تماس داشته باشند، بدون آن‌که یکدیگر را قطع کنند.
³هم‌محوری (Coaxial): حالتی که مرکز کره دقیقاً بر روی محور تقارن استوانه قرار گیرد.