خارجقسمت تقسیم چندجملهای: کلید اصلی معادلات بزرگ
چندجملهای چیست و تقسیم آن چه مفهومی دارد؟
قبل از هر چیز، بیایید ببینیم چندجملهای چیست. چندجملهای مثل یک دستهبندی از میوههاست. فرض کنید شما 3 عدد سیب، 5 عدد پرتقال و 2 عدد موز دارید. میتوانیم این مجموعه را به صورت یک عبارت ریاضی نشان دهیم: $3a + 5o + 2b$. این یک چندجملهای است! هر قسمت (مثل $3a$) را یک جمله مینامیم. تقسیم چندجملهای بر چندجملهای مانند این است که این سبد میوه را بین چند دوست به طور مساوی تقسیم کنیم و ببینیم به هر نفر چه میرسد و آیا میوهای باقی میماند یا نه.
| تقسیم در ریاضی پایه | تقسیم در جبر (چندجملهای) | نتیجه اصلی چیست؟ |
|---|---|---|
| تقسیم ۱۷ بر ۵ | تقسیم $x^2 + 5x + 6$ بر $x + 2$ | خارجقسمت و باقیمانده |
| ۱۷ = (۵ × ۳) + ۲ | $(x^2 + 5x + 6) = (x + 2)(x + 3) + 0$ | در این مثال، باقیمانده صفر است. |
| خارجقسمت=۳، باقیمانده=۲ | خارجقسمت=$x+3$، باقیمانده=$0$ | نتیجه اصلی همان خارجقسمت است. |
گامبهگام با روش تقسیم طولانی
رایجترین روش برای تقسیم، تقسیم طولانی2 است. این روش دقیقاً مانند تقسیم طولانی اعداد است که در دوره ابتدایی یاد گرفتید. بیایید با یک مثال از دنیای واقعی شروع کنیم.
مثال: فرض کنید مساحت یک زمین مستطیلی $x^2 + 5x + 6$ مترمربع است. اگر بدانیم طول آن $x + 2$ متر است، عرض آن چقدر است؟ (یادتان باشد مساحت مستطیل = طول × عرض)
پس باید $(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2)$ را حساب کنیم.
گام اول: مرتبسازی. مطمئن شوید که جملات چندجملهای تقسیمشونده و مقسومعلیه بر اساس توان $x$ از بزرگ به کوچک مرتب باشند. مثال ما از قبل مرتب است.
گام دوم: تقسیم اولین جملهها. اولین جمله تقسیمشونده ($x^2$) را بر اولین جمله مقسومعلیه ($x$) تقسیم کنید: $\frac{x^2}{x} = x$. این اولین جمله خارجقسمت است. نکته کلیدی
گام سوم: ضرب و تفریق. حالا این جمله ($x$) را در کل مقسومعلیه ($x+2$) ضرب کنید: $x \times (x+2) = x^2 + 2x$. نتیجه را از چندجملهای تقسیمشونده کم کنید: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$.
گام چهارم: تکرار. حالا دوباره عمل را با عبارت جدید ($3x + 6$) تکرار کنید. اولین جمله ($3x$) را بر اولین جمله مقسومعلیه ($x$) تقسیم کنید: $\frac{3x}{x} = 3$. این جمله دوم خارجقسمت است. دوباره ضرب و تفریق میکنیم: $3 \times (x+2) = 3x+6$ و از $3x+6$ کم میکنیم که میشود $0$.
نتیجه: خارجقسمت برابر است با $x + 3$ و باقیمانده $0$. یعنی عرض زمین برابر $x+3$ متر است. به این میگویند تقسیم دقیق!
کاربرد تقسیم چندجملهای در مسائل طراحی و ساخت
تصور کنید شما مسئول طراحی یک باغچهی مدرسه هستید. مساحت کل فضای سبز مشخص است و شما میخواهید یک ردیف گل در طول یک ضلع آن بکارید. تقسیم چندجملهای به شما کمک میکند تا ابعاد دقیق بخشهای مختلف را پیدا کنید.
مثال کاربردی: فرض کنید حجم یک جعبهٔ اسباببازی $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ سانتیمتر مکعب است. اگر ارتفاع جعبه $x + 1$ و عرض آن $x + 2$ سانتیمتر باشد، طول آن چقدر است؟ (حجم مکعبمستطیل = طول × عرض × ارتفاع)
ابتدا مساحت قاعده را پیدا میکنیم: باید حجم را بر ارتفاع تقسیم کنیم: $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \div (x + 1)$. با روش تقسیم طولانی، خارجقسمت میشود $x^2 + 5x + 6$ (با باقیمانده صفر). این، مساحت قاعده است. حالا برای یافتن طول، باید این مساحت را بر عرض تقسیم کنیم: $(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2)$ که قبلاً حل کردیم و برابر $x+3$ شد. پس طول جعبه $x+3$ سانتیمتر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: برای آن توان، جملهای با ضریب ۰ در نظر میگیریم. مثلاً برای تقسیم $x^3 - 1$ بر $x - 1$، باید چندجملهای را به صورت $x^3 + 0x^2 + 0x - 1$ بنویسیم و سپس تقسیم کنیم. این از اشتباهات رایج است که فراموش میشود.
پاسخ: خیر. دقیقاً مثل تقسیم اعداد (مثل ۷ ÷ ۳) که خارجقسمت اعشاری دارد، در تقسیم چندجملهایها هم ممکن است باقیماندهای غیر از صفر به دست آید. این باقیمانده همیشه از درجه کمتری نسبت به مقسومعلیه خواهد بود. نتیجهٔ اصلی تقسیم، همان خارجقسمت است، اما برای سادهسازی کامل یک کسر جبری، باید باقیمانده را هم در نظر گرفت.
پاسخ: بله، برای مقسومعلیههای سادهای مانند $x - a$ میتوان از روش هورنر3 استفاده کرد که سریعتر است. اما تقسیم طولانی، روش اصلی و قابلاطمینان برای همه حالات است و شما باید ابتدا بر این روش مسلط شوید.
پاورقی
1چندجملهای (Polynomial): عبارت جبریای که از مجموع چند جمله (که هر جمله شامل ضریب و متغیر با توانهای عدد صحیح غیرمنفی است) تشکیل شده باشد. مثال: $2x^2 - 3x + 1$.
2تقسیم طولانی (Long Division): الگوریتمی قدمبهقدم برای تقسیم یک چندجملهای (مقسوم) بر چندجملهای دیگر (مقسومعلیه).
3روش هورنر (Horner's Method): روشی کارآمد برای ارزیابی یک چندجملهای در یک نقطه خاص و همچنین انجام تقسیم بر مقسومعلیههای خطی (مانند $x - a$).
