تقسیم چندجملهایها: روشی گام به گام
چندجملهای چیست و چرا تقسیم میکنیم؟
یک چندجملهای2 عبارتهایی مانند $3x^2 + 2x - 5$ است که از جمع یا تفریق چند جمله (متغیر به توان یک عدد صحیح غیرمنفی ضربدر یک عدد) تشکیل شده است. در زندگی روزمره، میتوانیم شکل یک زمین کشاورزی مستطیلی را با عبارتی مثل $(x^2 + 5x + 6)$ متر مربع نشان دهیم. حال اگر بخواهیم این زمین را به قطعاتی به عرض $(x+2)$ متر تقسیم کنیم، برای پیدا کردن طول هر قطعه نیاز به تقسیم این دو عبارت بر هم داریم.
آشنایی با اعضای اصلی یک تقسیم
قبل از شروع، بهتر است با اصطلاحات اصلی آشنا شویم. این اصطلاحات درست مانند تقسیم اعداد معمولی هستند:
| نام | توضیح | مثال عددی | مثال چندجملهای |
|---|---|---|---|
| مقسوم | عبارتی که میخواهیم آن را تقسیم کنیم. | 15 | $6x^2 + x - 2$ |
| مقسومعلیه | عبارتی که مقسوم را بر آن تقسیم میکنیم. | 3 | $2x - 1$ |
| خارجقسمت | نتیجهٔ اصلی تقسیم. | 5 | $3x + 2$ |
| باقیمانده | عبارتی که پس از تقسیم کامل نمیتواند بیشتر تقسیم شود. | 0 | $0$ |
گامهای الگوریتم تقسیم به زبان ساده
این الگوریتم مراحلی شبیه تقسیم طولانی اعداد دارد. فرض کنید میخواهیم $(6x^2 + x - 2) \div (2x - 1)$ را محاسبه کنیم.
| گام | عمل | توضیح و محاسبه |
|---|---|---|
| ۱. ترتیبدهی | چیدن جملهها | هر دو چندجملهای را بر حسب توانهای نزولی x مینویسیم. اگر جملهای جا افتاده، با ضریب $0$ جایگزین میکنیم. مقسوم: $6x^2 + x - 2$ و مقسومعلیه: $2x - 1$. |
| ۲. تقسیم اولین جملهها | $6x^2 \div 2x = ?$ | اولین جمله مقسوم ($6x^2$) را بر اولین جمله مقسومعلیه ($2x$) تقسیم میکنیم: $6x^2 \div 2x = 3x$. این اولین جمله خارجقسمت است. |
| ۳. ضرب و تفریق | حذف جملههای پردازش شده | جملهای که پیدا کردیم ($3x$) را در کل مقسومعلیه ($2x - 1$) ضرب میکنیم: $(3x)(2x - 1) = 6x^2 - 3x$. حالا این حاصل را از مقسوم اصلی تفریق میکنیم: $(6x^2 + x - 2) - (6x^2 - 3x) = 4x - 2$. |
| ۴. تکرار | ادامه تا پایان | حالا دوباره اولین جمله عبارت جدید ($4x$) را بر اولین جمله مقسومعلیه ($2x$) تقسیم میکنیم: $4x \div 2x = 2$. این جمله دوم خارجقسمت است. دوباره ضرب و تفریق میکنیم: $2 \times (2x - 1) = 4x - 2$ و از $4x - 2$ تفریق میکنیم که باقیمانده $0$ میشود. |
| نتیجه | پاسخ نهایی | خارجقسمت: $3x + 2$، باقیمانده: $0$. پس: $6x^2 + x - 2 = (2x - 1)(3x + 2) + 0$ |
کاربرد تقسیم در دنیای واقعی
فرض کنید یک شرکت تولید کیک، برای بستهبندی، از جعبههایی استفاده میکند که حجم آنها با عبارت $V = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ سانتیمتر مکعب داده میشود. اگر ارتفاع هر جعبه $(x+1)$ سانتیمتر باشد، با تقسیم حجم بر ارتفاع، مساحت قاعده جعبه به دست میآید که برای طراحی برچسب روی آن مفید است. این یک کاربرد عملی از تقسیم چندجملهایها در طراحی و محاسبات مهندسی ساده است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
در این حالت، خارجقسمت برابر صفر میشود و خود مقسوم به عنوان باقیمانده باقی میماند. مانند تقسیم عدد 5 بر 12. مثال: تقسیم $(x+2)$ بر $(x^2 + 1)$. پاسخ: خارجقسمت $0$، باقیمانده $x+2$.
اگر چندجملهای کامل نباشد، ترتیب توانها به هم میریزد و تقسیم اشتباه میشود. مثلاً برای تقسیم $x^3 - 8$ بر $x - 2$، باید مقسوم را به شکل $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ بنویسیم تا در مراحل تقسیم دچار سردرگمی نشویم.
اگر مقسومعلیه به طور کامل بتواند مقسوم را تقسیم کند (یعنی ضریبهایی وجود داشته باشد که حاصلضرب آنها دقیقاً برابر مقسوم شود)، باقیمانده صفر خواهد شد. در این حالت میگوییم مقسومعلیه، عامل مقسوم است. مانند مثال زمین کشاورزی که اگر طول به دست آمده یک عدد صحیح باشد، تقسیم بدون باقیمانده انجام شده است.
پاورقی
۱. الگوریتم تقسیم (Polynomial Long Division Algorithm): یک روش سیستماتیک برای تقسیم یک چندجملهای بر چندجملهای دیگر.
۲. چندجملهای (Polynomial): عبارت جبری شامل چند جمله که هر جمله شامل یک متغیر به توان یک عدد صحیح غیرمنفی ضربدر یک ضریب است.
۳. درجه (Degree): بزرگترین توان متغیر در یک چندجملهای. برای مثال درجه $3x^2 + 5$ برابر 2 است.
